Question

（本小題滿分16分）
已知，，且直線與曲線相切．
（1）若對(duì)內(nèi)的一切實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)，求最大的正整數(shù)，使得對(duì)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）內(nèi)的任意個(gè)實(shí)數(shù)都有成立；
（3）求證：．

Answer 1

（1）設(shè)點(diǎn)為直線與曲線的切點(diǎn)，則有
．     （*）
，． （**）
由（*）、（**）兩式，解得，．   
由整理，得，
，要使不等式恒成立，必須恒成立．
設(shè)，，
，當(dāng)時(shí)，，則是增函數(shù)，
，是增函數(shù)，，．
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是．
（2）當(dāng)時(shí)，
，在上是增函數(shù)，在上的最大值為．
要對(duì)內(nèi)的任意個(gè)實(shí)數(shù)都有
成立，必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值，
當(dāng)時(shí)不等式左邊取得最大值，時(shí)不等式右邊取得最小值．
，解得．因此，的最大值為． 
（3）證明：當(dāng)時(shí)，得出． 令，   
化簡(jiǎn)得，
得出．

解析試題分析：（1）設(shè)點(diǎn)為直線與曲線的切點(diǎn)，則有
．     （*）
，． （**）
由（*）、（**）兩式，解得，．   
由整理，得，
，要使不等式恒成立，必須恒成立．
設(shè)，，
，當(dāng)時(shí)，，則是增函數(shù)，
，是增函數(shù)，，．
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是．
（2）當(dāng)時(shí)，
，在上是增函數(shù)，在上的最大值為．
要對(duì)內(nèi)的任意個(gè)實(shí)數(shù)都有
成立，必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值，
當(dāng)時(shí)不等式左邊取得最大值，時(shí)不等式右邊取得最小值．
，解得．因此，的最大值為． 
（3）證明：當(dāng)時(shí)，根據(jù)（1）的推導(dǎo)有，時(shí)，，
即． 令，得，   
化簡(jiǎn)得， 
． 
考點(diǎn)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值，證明不等式。
點(diǎn)評(píng)：典型題，本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的基本問(wèn)題，像涉及恒成立問(wèn)題，往往通過(guò)研究函數(shù)的最值達(dá)到解題目的。證明不等式問(wèn)題，往往通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)，研究其單調(diào)性及最值，而達(dá)到目的。本題涉及對(duì)數(shù)函數(shù)，要特別注意函數(shù)的定義域。