Question

已知點(diǎn)P_n（a_n，b_n）在直線l：y=2x+1上，P₁為直線l與y軸的交點(diǎn)，等差數(shù)列{a_n}的公差為1（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=

1

n|P1Pn|

(n≥2)，求

lim

n→∞

(c2+c3+…+cn)的值；
（3）若d_n=2d_n-1+a_n-1（n≥2），且d₁=1，求證：數(shù)列{d_n+n}為等比數(shù)列，并求{d_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的極限,數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由于點(diǎn)P_n（a_n，b_n）在直線l：y=2x+1上，P₁為直線l與y軸的交點(diǎn)，可得b_n=2a_n+1，a₁=0，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n，即可得出b_n．
（2）由（1）可得a_n-a₁=n-1，b_n-b₁=2n-1-1=2n-2，利用兩點(diǎn)之間的距離公式可得|P₁P_n|=

(an-a1)2+(bn-b1)2

=

5

(n-1)（n≥2）．因此c_n=

1

n|P1Pn|

=

1

5 n•(n-1)

=

1

5

(

1

n-1

-

1

n

)，利用“裂項(xiàng)求和”及其極限的運(yùn)算法則即可得出．
（3）n≥2，d_n=2d_n-1+a_n-1，=2d_n-1+n-2，變形為d_n+n=2（d_n-1+n-1），即可證明．

解答： （1）解：∵點(diǎn)P_n（a_n，b_n）在直線l：y=2x+1上，P₁為直線l與y軸的交點(diǎn)，
∴b_n=2a_n+1，a₁=0，
∵等差數(shù)列{a_n}的公差為1（n∈N^*），
∴a_n=0+（n-1）=n-1．
b_n=2（n-1）+1=2n-1．
（2）解：由（1）可得a_n-a₁=n-1，b_n-b₁=2n-1-1=2n-2，
∴|P₁P_n|=

(an-a1)2+(bn-b1)2

=

(n-1)2+4(n-1)2

=

5

(n-1)（n≥2）．
∴c_n=

1

n|P1Pn|

=

1

5 n•(n-1)

=

1

5

(

1

n-1

-

1

n

)，
∴c₂+c₃+…+c_n=

1

5

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)]=

1

5

(1-

1

n

)，
∴

lim

n→∞

(c2+c3+…+cn)=

lim

n→∞

1

5

(1-

1

n

)=

5

5

；
（3）證明：n≥2，d_n=2d_n-1+a_n-1，=2d_n-1+n-2，
∴d_n+n=2（d_n-1+n-1），
∴數(shù)列{d_n+n}為等比數(shù)列，
首項(xiàng)為d₁+1=2，公比為2，
∴dn+n=2n，
∴dn=2n-n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”、兩點(diǎn)之間的距離公式、極限的運(yùn)算性質(zhì)，考查了分類(lèi)討論的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．