已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
3
2
，過坐標(biāo)原點(diǎn)O且斜率為
1
2
的直線l與C相交于A，B，|AB|=2
10
．
（1）求a，b的值；
（2）若動(dòng)圓（x-m）2+y2=1與橢圓C和直線l都沒有公共點(diǎn)，試求m的取值范圍．
分析：（1）依題意，l：y=
x
2
，設(shè)A（2t，t）、B（-2t，t）（t＞0），由|AB|=2
10
得20t2=40，t=
2
，由此入手可解得a=4，b=2．
（2）由題意知3x2-8mx+4m2+12=0，動(dòng)圓與橢圓沒有公共點(diǎn)，由此知|m|＜3或|m|＞5．再由動(dòng)圓（x-m）2+y2=1與直線y=
x
2
沒有公共點(diǎn)．由此可得m的取值范圍．
解答：解：（1）依題意，l：y=
x
2
（1分）
不妨設(shè)設(shè)A（2t，t）、B（-2t，-t）（t＞0）（2分）
由|AB|=2
10
得20t2=40，t=
2
（3分）
所以
8
a2
+
2
b2
=1
c
a
=
a2-b2
a
=
3
2
（（5分），）
解得a=4，b=2（6分）．
（2）由
x2
16
+
y2
4
=1
(x-m)2+y2=1
消去y得3x2-8mx+4m2+12=0（7分）
動(dòng)圓與橢圓沒有公共點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)△=（-8m）2-4×3×（4m2+12）=16m2-144＜0或|m|＞5（9分）
解得|m|＜3或|m|＞5（10分）
動(dòng)圓（x-m）2+y2=1與直線y=
x
2
沒有公共點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)
|m|
5
＞1，即|m|＞
5
（12分）解
|m|＜3
|m|＞
5
或
|m|＞5
|m|＞
5
（13分）
得m的取值范圍為{m|
5
＜m＜3或m＞5或-3＜m＜-
5
或m＜-5}．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點(diǎn)P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)為2
3
，右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且M，N不與橢圓的頂點(diǎn)重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長(zhǎng)為2，離心率為
2
2
，設(shè)過右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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