【題目】已知函數(shù)f(x)= x2﹣(a2﹣a)lnx﹣x(a<0),且函數(shù)f(x)在x=2處取得極值.
(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(2)若x∈[1,e],f(x)﹣m≤0成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】
(1)解:由f′(x)=x﹣ ﹣1,f′(2)=0,得a=﹣1或a=2(舍去)
經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)a=﹣1時(shí),函數(shù)f(x)在x=2處取得極值.
a=﹣1時(shí),f(x)= x2﹣2lnx﹣x,f′(x)=x﹣ ﹣1,
則f(1)=﹣ ,f′(1)=﹣2,
所以所求的切線方式為y+ =﹣2(x﹣1),
整理得4x+2y﹣3=0;
(2)解:?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為:求f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值:
x | 1 | (1,2) | 2 | (2,e) | e |
f'(x) | ﹣ | 0 | + | ||
f(x) | ↘ | 最小值 | ↗ |
比較 ,
所以 ,即
【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求出a的值,從而求出f(x)的表達(dá)式,求出切線方程即可;(2)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:求f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f(x)的最大值,從而求出m的范圍即可.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓,直線
(1)求證:不論取何實(shí)數(shù),直線與圓總有兩個(gè)不同的交點(diǎn);
(2)設(shè)直線與圓交于點(diǎn),當(dāng)時(shí),求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn),如果函數(shù)f(x)的圖象恰好通過(guò)n()個(gè)整點(diǎn),則稱函數(shù)f(x)為n階整點(diǎn)函數(shù)。有下列函數(shù):
① ② ③ ④
其中是一階整點(diǎn)的是( )
A. ①②③④ B. ①③④ C. ④ D. ①④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】等比數(shù)列{an}中,q=2,a2+a5+…+a98=22,則數(shù)列{an}的前99項(xiàng)的和S99=( )
A.100
B.88
C.77
D.68
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足向量 =(cosA,cosB), =(a,2c﹣b), ∥ .
(1)求角A的大;
(2)若a=2 ,求△ABC面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某車間將10名技工平均分成甲、乙兩組加工某種零件,在單位時(shí)間內(nèi)每個(gè)技工加工的合格零件數(shù)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示.已知兩組技工在單位時(shí)間內(nèi)加工的合格零件平均數(shù)都為.
(1)分別求出m,n的值;
(2)分別求出甲、乙兩組技工在單位時(shí)間內(nèi)加工的合格零件的方差和,并由此分析兩組技工的加工水平;
(3)質(zhì)檢部門從該車間甲、乙兩組技工中各隨機(jī)抽取一名技工,對(duì)其加工的零件進(jìn)行檢測(cè),若兩人加工的合格零件個(gè)數(shù)之和大于18,則稱該車間“質(zhì)量合格”,求該車間“質(zhì)量合格”的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=cos x,a等于拋擲一顆均勻的正六面體骰子得到的點(diǎn)數(shù),則y=f(x)在[0,4]上有偶數(shù)個(gè)零點(diǎn)的概率是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在圓錐中,已知,⊙O的直徑,點(diǎn)C在底面圓周上,且,為的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:∥平面;
(Ⅱ)證明:平面平面;
(Ⅲ)求二面角的正弦值.
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