Question

【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，若，，成等比數(shù)列，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為．

求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

過該橢圓的右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦與，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

根據(jù)，，成等比數(shù)列，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為．列出關(guān)于 、 、的方程組，求出 、的值，即可得出橢圓的方程；對(duì)直線和分兩種情況討論：一種是兩條直線與坐標(biāo)軸垂直，可求出兩條弦長(zhǎng)度之和；二是當(dāng)兩條直線斜率都存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式可計(jì)算出的長(zhǎng)度的表達(dá)式，然后利用相應(yīng)的代換可求出的長(zhǎng)度表達(dá)式，將兩線段長(zhǎng)度表達(dá)式相加，利用函數(shù)思想可求出兩條弦長(zhǎng)的取值范圍最后將兩種情況的取值范圍進(jìn)行合并即可得出答案．

易知，得，則，

而，又，得，，

因此，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

當(dāng)兩條直線中有一條斜率為0時(shí)，另一條直線的斜率不存在，由題意易得；

當(dāng)兩條直線斜率都存在且不為0時(shí)，由知，

設(shè)、，直線MN的方程為，則直線PQ的方程為，

將直線方程代入橢圓方程并整理得：，

顯然，，，

，同理得，

所以，，

令，則，，設(shè)，

，所以，，所以，，則．

綜合可知，的取值范圍是．