【題目】已知函數(shù)f(x)=ln(ax+b)+ex﹣1(a≠0).
(1)當a=﹣1,b=1時,判斷函數(shù)f(x)的零點個數(shù);
(2)若f(x)≤ex﹣1+x+1,求ab的最大值.

【答案】
(1)解:當a=﹣1,b=1時,f(x)=ln(﹣x+1)+ex﹣1,定義域為{x|x<1},

當x≤0時,f(x)=ln(﹣x+1)+ex﹣1>0,所以函數(shù)f(x)在(﹣∞,0]內(nèi)無零點;

當0<x<1時, ,因為 ,ex﹣1<1,所以 ,

說明函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,

又f(0)=e﹣1>0,當 時,

所以函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)有且只有一個零點;

綜上,函數(shù)f(x)的零點個數(shù)是1;


(2)解:若ln(ax+b)+ex﹣1≤ex﹣1+x+1,即ln(ax+b)≤x+1,設(shè)g(x)=ln(ax+b)﹣x﹣1,

若a<0,則當x→﹣∞時,顯然g(x)>0,故不符合題意,所以a>0.

(ax+b>0),

時,g'(x)>0,所以g(x)在 上單調(diào)遞增;

時,g'(x)<0,所以g(x)在 上單調(diào)遞減;

從而 ,

由題意可知 ,所以b≤2a﹣alna,

此時ab≤2a2﹣a2lna,令h(a)=2a2﹣a2lna,h'(a)=3a﹣2alna,

可知h(a)在 上單調(diào)增,在 上單調(diào)減,

所以 ,故ab的最大值為


【解析】(1)當a=﹣1,b=1時,化簡函數(shù)的解析式,求出定義域,通過當x≤0時,f(x)>0,說明函數(shù)f(x)在(﹣∞,0]內(nèi)無零點;當0<x<1時,通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性零點判定定理,推出結(jié)果.(2)不等式化為ln(ax+b)+ex﹣1≤ex﹣1+x+1,即ln(ax+b)≤x+1,設(shè)g(x)=ln(ax+b)﹣x﹣1,說明a>0,清楚函數(shù)的 (ax+b>0),當 時,判斷函數(shù)的單調(diào)性,當 時,判斷函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值,推出ab≤2a2﹣a2lna,令h(a)=2a2﹣a2lna,h'(a)=3a﹣2alna,求解函數(shù)的最大值即可.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.

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是常數(shù)函數(shù)中唯一的“特征函數(shù)”;

不是“特征函數(shù)”;

③“特征函數(shù)”至少有一個零點;

是一個“特征函數(shù)”.

A.1B.2C.3D.4

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A.
B.
C.
D.

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