【題目】如圖，已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)且與軸相切，點(diǎn)關(guān)于圓心的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)的軌跡為

（1）求曲線的方程；

（2）一條直線經(jīng)過點(diǎn)，且交曲線于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn).

①求證：不可能是鈍角；

②是否存在這樣的點(diǎn)，使得是正三角形？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，說明理由.

【答案】（1）；（2）①證明見解析；②存在，.

【解析】

（1）可設(shè)，可由與關(guān)于圓心對(duì)稱，求得圓心，再由半徑處處相等建立等式，化簡(jiǎn)即可求解；

（2）設(shè)直線，，聯(lián)立方程得關(guān)于的表達(dá)式，結(jié)合韋達(dá)定理和向量的表示方法，即可求證；

（3）可假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為，由直線和垂直關(guān)系求出點(diǎn)，由韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式求得弦，結(jié)合即可求解具體的的值，進(jìn)而求解點(diǎn)；

（1）設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，且點(diǎn)關(guān)于圓心的對(duì)稱點(diǎn)為，

則，而，則，化簡(jiǎn)得：，所以曲線的方程為.

（2）①設(shè)直線，,

由，得，

則.

，

，

則不可能是鈍角.

②假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為，由①知;

，則，則，

則，而，由得，，所以存在點(diǎn).

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知半圓：，、分別為半圓與軸的左、右交點(diǎn)，直線過點(diǎn)且與軸垂直，點(diǎn)在直線上，縱坐標(biāo)為，若在半圓上存在點(diǎn)使，則的取值范圍是（ ）

A. B.

C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）若在其定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)，且，若在上至少存在一點(diǎn)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）求證：對(duì)任意的正整數(shù)，都有成立.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，離心率為，是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且面積的最大值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線斜率為，且與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，是否存在點(diǎn)，使得若存在，求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)命題：函數(shù)的定義域?yàn)?/span>；命題：關(guān)于的方程有實(shí)根.

（1）如果是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

（2）如果命題“”為真命題，且“”為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中，與都為等邊三角形，且側(cè)面與底面互相垂直，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，為棱上一點(diǎn).

（1）試確定點(diǎn)的位置，使得平面；

（2）在（1）的條件下，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（1）如圖（1）所示，橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1、F2在x軸上，A、B是橢圓的頂點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且PF1⊥x軸，PF2∥AB，求此橢圓的離心率；

（2）如圖（2）所示，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，求此雙曲線的離心率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓C過點(diǎn)M（0，-2）、N（3，1），且圓心C在直線x+2y+1=0上．

（1）求圓C的方程；

（2）設(shè)直線ax-y+1=0與圓C交于A，B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)a，使得過點(diǎn)P（2，0）的直線l垂直平分弦AB？若存在，求出實(shí)數(shù)a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和，短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為和，點(diǎn)在橢圓上，且滿足，當(dāng)變化時(shí)，給出下列三個(gè)命題：

①點(diǎn)的軌跡關(guān)于軸對(duì)稱；②的最小值為2；

③存在使得橢圓上滿足條件的點(diǎn)僅有兩個(gè)，

其中，所有正確命題的序號(hào)是__________．

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