(2009•奉賢區(qū)一模)A島正南40海里處的洋面B上有一條走私船.它正以10
5
海里/小時的速度朝北偏東θ(θ=arctan
1
2
)
的方向作勻速直線方向逃走.3小時后有關部門接到報警并派輯私船從A島出發(fā)追擊走私船.如圖所示,建立平面直角坐標系,
(1)寫出3小時后走私船Q1的坐標以及t小時后走私船Qt的坐標
(2)已知輯私船的最大航速度為40
2
海里/小時,并假設走私船在逃走時不改變它的航向,輯私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船?并求出所需時間?
分析:(1)先求出t時刻甲、乙兩船對應的坐標;直接把t=3代入即可求出P、Q兩點的坐標;
(2)先根據(jù)余弦定理得到關于時間的等式,再解方程求出對應的時間,進而求出對應的方向.
解答:解:以A為原點,BA所在直線為y軸建立如圖所示的坐標系.
設在t時刻甲、乙兩船分別在P(x1,y1),Q(x2,y2),
x1=15
2
tcos45°=15t
y1=x1=15t.
由θ=arctan
1
2
,可得cosθ=
2
5
5
,sinθ=
5
5
,
x2=10
5
tsinθ=10t,y2=10
5
tcosθ-40=20t-40.
(1)Q點的坐標分別為(30,20);Qt(10t,20t-40)(3+3分)
(2)由θ=arctan
1
2
,可得cosθ=
2
5
5
,
[40
2
(t-3)]2=402+(10
5
t)2-2×40×10
5
tcosθ
(3分)
2t2-176t+272=0,t1=4,t2=
68
27
<3
(舍去)(2分)
所以所需時間4-3=1小時,(1分)
此時Q'(40,40),所以方向北偏東450(2分)
點評:本題主要考查了解三角形的實際應用.解此類題常需將它轉化為數(shù)學問題,建立數(shù)學模型.在設計方案時,應以簡便、合理為原則.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2009•奉賢區(qū)一模)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x-4)=-f(x),且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù).若方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間[-8,8]上有四個不同的根x1,x2,x3,x4,則x1+x2+x3+x4=
-8
-8

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2009•奉賢區(qū)一模)已知數(shù)列{an}前n項和Sn=
1
3
an-1
,則數(shù)列{an}的通項公式
an=3•(-
1
2
)n
,或an=-
3
2
•(-
1
2
)n-1
an=3•(-
1
2
)n
,或an=-
3
2
•(-
1
2
)n-1

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2009•奉賢區(qū)一模)若行列式
.
456
101
sinx81
.
中,元素5的代數(shù)余子式不小于0,則x滿足的條件是
x=2kπ+
π
2
,k∈Z
x=2kπ+
π
2
,k∈Z

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2009•奉賢區(qū)一模)已知矩陣A=
cosαsinα
01
,B=
cosβ0
sinβ1
,則AB=
cos(α-β)sinα
sinβ1
cos(α-β)sinα
sinβ1

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2009•奉賢區(qū)一模)已知函數(shù)f(x)=
6
x2+1

(1)在直角坐標系中,畫出函數(shù)f(x)=
6
x2+1
大致圖象.
(2)關于x的不等式f(x)≥k-7x2的解集一切實數(shù),求實數(shù)k的取值范圍;
(3)關于x的不等式f(x)>
a
x
的解集中的正整數(shù)解有3個,求實數(shù)a的取值范圍.

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