Question

【題目】已知橢圓C：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在橢圓上，，橢圓的離心率.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）A，B是橢圓C上與點(diǎn)P不重合的任意兩點(diǎn)，若的重心是坐標(biāo)原點(diǎn)O，試證明：的面積為定值，并求出該定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明詳見解析，該定值為.

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法求出橢圓方程；

（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組求出弦長(zhǎng)，求出P到的距離，得出三角形的面積關(guān)于m的函數(shù)，從而得出面積的最大值.

（1）∵，∴，∴，

∵，∴，

∴，

∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；

（2）最多只有1條邊所在直線與x軸垂直，

不妨設(shè)所在直線與x軸不垂直，其方程為

（∵的重心是O，∴O不在直線上，）

由得，

設(shè)、，則

，

且，，

從而，

設(shè)，∵的重心是坐標(biāo)原點(diǎn)O，

∴，

∴，

，

點(diǎn)在橢圓上，

∴

即，且符合，

點(diǎn)到直線的距離為：

，

的面積，

由即，得

為常數(shù).