Question

已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)P（0，f（0））處的切線方程為y=3x-2．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）設(shè)是[2，+∞）上的增函數(shù)．
①求實(shí)數(shù)m的最大值；
②當(dāng)m取最大值時(shí)，是否存在點(diǎn)Q，使得過點(diǎn)Q的直線若能與曲線y=g（x）圍成兩個(gè)封閉圖形，則這兩個(gè)封閉圖形的面積總相等？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=x²-2x+a
∵函數(shù)在點(diǎn)P（0，f（0））處的切線方程為y=3x-2，∴，∴．
（2）①由=，得g′（x）=．
∵g（x）是[2，+∞）上的增函數(shù)，∴g′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，
即在[2，+∞）上恒成立．
設(shè)（x-1）²=t，∵x∈[2，+∞），∴t≥1，∴不等式t+2-≥0在[1，+∞）上恒成立
當(dāng)m≤0時(shí)，不等式t+2-≥0在[1，+∞）上恒成立．
當(dāng)m＞0時(shí)，設(shè)y=t+2-，t∈[1，+∞）
因?yàn)閥′=1+＞0，所以函數(shù)y=t+2-在[1，+∞）上單調(diào)遞增，因此y_min=3-m．
∴y_min≥0，∴3-m≥0，即m≤3，又m＞0，故0＜m≤3．
綜上，m的最大值為3．
②由①得g（x）=，其圖象關(guān)于點(diǎn)Q（1，）成中心對(duì)稱．
證明如下：∵g（x）=，
∴g（2-x）==
因此，g（x）+g（2-x）=．
∴函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)Q成中心對(duì)稱．
∴存在點(diǎn)Q（1，），使得過點(diǎn)Q的直線若能與函數(shù)g（x）的圖象圍成兩個(gè)封閉圖形，則這兩個(gè)封閉圖形的面積總相等．
分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用在點(diǎn)P（0，f（0））處的切線方程為y=3x-2，建立方程組，即可求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）①求導(dǎo)函數(shù)，利用g（x）是[2，+∞）上的增函數(shù)，可得g′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，進(jìn)一步利用換元法，確定函數(shù)的最值，即可求得m的最大值；
②由①得g（x）=，證明圖象關(guān)于點(diǎn)Q（1，）成中心對(duì)稱即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的最值，考查圖象的對(duì)稱性，屬于中檔題．