【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）函數(shù)在處的切線與直線垂直，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若函數(shù)在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)，且.

①求實(shí)數(shù)的取值范圍；

②求證：.

【答案】（1）（2）①②證明見解析；

【解析】

（1）由函數(shù)導(dǎo)數(shù)求得切線斜率，利用兩直線垂直斜率乘積為-1列方程求解即可；

（2）①函數(shù)在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于在上有兩個(gè)不相等的根.解不等式組即得解；

②先化簡(jiǎn)得到，再構(gòu)造，其中.再利用導(dǎo)數(shù)證明，即得證.

（1）依題意，，，

故，所以，

據(jù)題意可知，，解得.

所以實(shí)數(shù)的值為2.

（2）①因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，

所以在上有兩個(gè)根，且，

即在上有兩個(gè)不相等的根.

所以解得.

當(dāng)時(shí)，若或，，，

函數(shù)在和上單調(diào)遞增；

若，，，

函數(shù)在上單調(diào)遞減，

故函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，.

所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

②由①可知，是方程的兩個(gè)不等的實(shí)根，

所以其中..

故

，

令，其中.

故，

令，

，在上單調(diào)遞增.

由于，，

所以存在常數(shù)，使得，即，，

且當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，

，

又，，

所以，即，

故得證.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為3．（橢圓的右準(zhǔn)線方程為）

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)過(guò)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)．已知被圓截得的弦長(zhǎng)為，求的面積．

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1求圓C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；

2設(shè)M是直線l上任意一點(diǎn)，過(guò)M做圓C切線，切點(diǎn)為A、B，求四邊形AMBC面積的最小值．

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【題目】將四個(gè)編號(hào)為1,2,3,4的相同小球放入編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)盒子中，

（1）若每個(gè)盒子放一個(gè)小球，求有多少種放法;

（2）若每個(gè)盒子放一球，求恰有1個(gè)盒子的號(hào)碼與小球的號(hào)碼相同的放法種數(shù)；

（3）求恰有一個(gè)空盒子的放法種數(shù)．

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【題目】已知點(diǎn)，直線為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，且.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線與分別交軌跡于四點(diǎn).求的取值范圍.

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(1) AD邊所在直線的方程；

(2) DC邊所在直線的方程．

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【題目】[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上，直線l過(guò)點(diǎn)且與垂直，垂足為P.

（1）當(dāng)時(shí)，求及l的極坐標(biāo)方程；

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【題目】近年來(lái)，共享單車已經(jīng)悄然進(jìn)入了廣大市民的日常生活，并慢慢改變了人們的出行方式.為了更好地服務(wù)民眾，某共享單車公司在其官方中設(shè)置了用戶評(píng)價(jià)反饋系統(tǒng)，以了解用戶對(duì)車輛狀況和優(yōu)惠活動(dòng)的評(píng)價(jià).現(xiàn)從評(píng)價(jià)系統(tǒng)中選出條較為詳細(xì)的評(píng)價(jià)信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，車輛狀況的優(yōu)惠活動(dòng)評(píng)價(jià)的列聯(lián)表如下：

對(duì)優(yōu)惠活動(dòng)好評(píng)

對(duì)優(yōu)惠活動(dòng)不滿意

合計(jì)

對(duì)車輛狀況好評(píng)

對(duì)車輛狀況不滿意

合計(jì)

（1）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為優(yōu)惠活動(dòng)好評(píng)與車輛狀況好評(píng)之間有關(guān)系？

（2）為了回饋用戶，公司通過(guò)向用戶隨機(jī)派送每張面額為元，元，元的 三種騎行券.用戶每次使用掃碼用車后，都可獲得一張騎行券.用戶騎行一次獲得元券，獲得元券的概率分別是，，且各次獲取騎行券的結(jié)果相互獨(dú)立.若某用戶一天使用了兩次該公司的共享單車，記該用戶當(dāng)天獲得的騎行券面額之和為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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參考公式：，其中.

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