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(2010•永州一模)已知四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的菱形,且∠BAD=60o,PA⊥平面ABCD,且PA=1,E、F分別是BC、PA的中點.
(1)求證:BF∥平面PED;
(2)求二面角P-DE-A的余弦值.
分析:(1)以A為原點,過點A且平行DE的直線為y軸,AD,AP所在直線分別為x軸、z軸,建立空間直角坐標系A-xyz,求出平面PDE一個法向量
n1
,根據
BF
n1
=0
推出BF∥平面PDE;
(2)可取平面ABCD的法向量
n2
,先求出平面PDE一個法向量
n1
與平面ABCD的法向量
n2
的夾角,從而得到二面角的大小.
解答:解:以A為原點,過點A且平行DE的直線為y軸,AD,AP所在直線分別為x軸、z軸,建立空間直角坐標系A-xyz則A(0,0,0),D(2,0,0),P(0,0,1),E(2,
3
,0)
,F(0,0,
1
2
)
B(1,
3
,0)
PD
=(2,0,-1),
DE
=(0,
3
,0)
,
BF
=(-1,-
3
,
1
2
)
(2分)
(1)設平面PDE法向量
n1
=(x,y,z)
n1
PD
=0
n1
DE
=0
2x-z=0
3
y=0
x=1,則
n1
=(1,0,2)
BF
n1
=0
BF
n1
又∵BF?平面PDE∴BF∥平面PDE.(7分)
(2)可取平面ABCD的法向量
n2
=
AP
=(0,0,1)
cos<
n1
n2
>=
2
5
=
2
5
5
∴所求二面角的余弦值為
2
5
5
.(12分)
點評:本小題主要考查直線平行與平面的判定,以及利用空間向量度量二面角,考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力,屬于基礎題.
練習冊系列答案
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PA
+
PB
PC
=0
,∠C=120°,則實數λ的值為
-1
-1

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OR
OF
,
CT
CF
(0<λ<1)
,直線ER與直線GT的交點P的軌跡為W.
(1)求W的方程;
(2)求四邊形OGPF面積的最大值.

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