Question

已知向量

m

=(sinx，1)，

n

=(

3

Acosx，

A

2

cos2x)(A＞0)，函數(shù)f(x)=

m

•

n

-1的最大值為3．
（Ⅰ）求A以及最小正周期T；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移

π

12

個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的

1

2

倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．求g（x）在[-

π

12

，

π

6

]上的最小值，以及此時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析：（I）利用向量的數(shù)量積公式和三角恒等變換公式，化簡(jiǎn)得f（x）=Asin(2x+

π

6

)-1，由f（x）最大值為3建立關(guān)于A的等式，解得A=4，再利用三角函數(shù)的周期公式即可算出最小正周期T；
（II）由（I）得函數(shù)f(x)=4sin(2x+

π

6

)-1，根據(jù)三角函數(shù)圖象變換的公式得到函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過(guò)兩次變換后的圖象對(duì)應(yīng)的解析式為y=4sin(4x+

π

3

)-1，可得g(x)=4sin(4x+

π

3

)-1，再由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)加以計(jì)算，即可得到g（x）在[-

π

12

，

π

6

]上的最小值及相應(yīng)應(yīng)的x的值．

解答：解：（ I）∵

m

=(sinx，1)，

n

=(

3

Acosx，

A

2

cos2x)(A＞0)，
∴f(x)=

m

•

n

-1=

3

Asinxcosx+

A

2

cos2x-1
=A(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)-1=Asin(2x+

π

6

)-1
∵A＞0，且f(x)=

m

•

n

-1的最大值為3，
∴A-1=3，
解得A=4，函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
綜上所述，A=4且最小正周期T=π．
（Ⅱ）由（I）可得函數(shù)f（x）的解析式為f(x)=4sin(2x+

π

6

)-1，
∴將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移

π

12

個(gè)單位，得到y=4sin[2(x+

π

12

)+

π

6

]-1=4sin(2x+

π

3

)-1的圖象．
再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的

1

2

倍，縱坐標(biāo)不變，得到y=4sin(4x+

π

3

)-1的圖象．
因此，函數(shù)g(x)=4sin(4x+

π

3

)-1，
∵當(dāng)x∈[-

π

12

，

π

6

]時(shí)4x+

π

3

∈[0，π]，
可得sin(4x+

π

3

)∈[0，1]，
∴當(dāng)4x+

π

3

=0或π時(shí)，
即x=-

π

12

或x=

π

6

時(shí)，g（x）_min=-1．
即g（x）在[-

π

12

，

π

6

]上的最小值為-1，
此時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值等于-

π

12

或

π

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出以向量的數(shù)量積為解析式的函數(shù)，在已知函數(shù)的最小值情況下求函數(shù)的表達(dá)式，并討論函數(shù)圖象的變換問(wèn)題．著重考查了向量的數(shù)量積公式、三角恒等變換公式和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．