Question

【題目】【2017屆陜西省西安市鐵一中學(xué)高三上學(xué)期第五次模擬考試數(shù)學(xué)（理）】已知函數(shù)，其中常數(shù).

（Ⅰ）討論在上的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若曲線上總存在相異兩點(diǎn)，使曲線在兩點(diǎn)處的切線互相平行，試求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，對(duì)分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可得到在區(qū)間上的單調(diào)性；

（2）利用過兩點(diǎn)處的切線互相平行，建立方程，結(jié)合基本不等式，再求最值，即可求解的取值范圍。

試題解析：（Ⅰ）由已知得，的定義域?yàn)?/span>，且

，

①當(dāng)時(shí)，，且，

所以時(shí)，；時(shí)，.

所以，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；

②當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)恒成立，

所以在上是減函數(shù)；

③當(dāng)時(shí)，，

所以時(shí)，；時(shí)，

所以函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).

（Ⅱ）由題意，可得，且

即，化簡(jiǎn)得，

由，得

即對(duì)恒成立，

令，則對(duì)恒成立

∴在上單調(diào)遞增，則，所以，

所以，

故取值范圍為.