【題目】已知橢圓，記為與原點(diǎn)距離等于的全體直線所成的集合.問(wèn)：是否存在常數(shù)，使得對(duì)任意的直線，均存在、，、分別過(guò) 與橢圓的交點(diǎn)、，且有？并說(shuō)明理由.

【答案】

【解析】

假設(shè)存在滿(mǎn)足題設(shè)條件的常數(shù).取為特殊直線：，且與橢圓交于、兩點(diǎn).

作以原點(diǎn)為圓心、為半徑的圓與軸的正半軸交于點(diǎn).顯然，圓與直線切于點(diǎn)，且.

依題意，存在直線、，分別過(guò)點(diǎn)、，且與圓相切.設(shè)切點(diǎn)分別為、.

則、分別垂直相互平行的直線、.故為圓的直徑.

從而，是梯形的中位線.

由，知，.

因此，點(diǎn)，且，.

又點(diǎn)在橢圓上，由假設(shè)知橢圓方程為.

下面證明：即為所求.

先證明：若，且與橢圓交于點(diǎn)、，則.

設(shè)直線.

則原點(diǎn)到的距離為.

故.

將直線的方程代入橢圓方程得.

設(shè)，.

則由韋達(dá)定理得，

.故

，即.

易證，若直線的斜率不存在，則.

假設(shè)、分別與橢圓交于點(diǎn)與、與.則

，，，且，.

故，即.

綜上，存在唯一滿(mǎn)足題意.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，若.

（1）求角；

（2）若的外接圓半徑為2，求周長(zhǎng)的最大值.

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：（1）由正弦定理將邊角關(guān)系化為邊的關(guān)系，再根據(jù)余弦定理求角，（2）先根據(jù)正弦定理求邊,用角表示周長(zhǎng)，根據(jù)兩角和正弦公式以及配角公式化為基本三角函數(shù)，最后根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求最大值.

試題解析：（1）由正弦定理得，

∴，∴，即

因?yàn)?/span>，則.

（2）由正弦定理

∴， ， ，

∴周長(zhǎng)

∵，∴

∴當(dāng)即時(shí)

∴當(dāng)時(shí)， 周長(zhǎng)的最大值為.

【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】經(jīng)調(diào)查，3個(gè)成年人中就有一個(gè)高血壓，那么什么是高血壓？血壓多少是正常的？經(jīng)國(guó)際衛(wèi)生組織對(duì)大量不同年齡的人群進(jìn)行血壓調(diào)查，得出隨年齡變化，收縮壓的正常值變化情況如下表：

其中： ， ，

（1）請(qǐng)畫(huà)出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；

（2）請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；（的值精確到0.01）

（3）若規(guī)定，一個(gè)人的收縮壓為標(biāo)準(zhǔn)值的0.9~1.06倍，則為血壓正常人群；收縮壓為標(biāo)準(zhǔn)值的1.06~1.12倍，則為輕度高血壓人群；收縮壓為標(biāo)準(zhǔn)值的1.12~1.20倍，則為中度高血壓人群；收縮壓為標(biāo)準(zhǔn)值的1.20倍及以上，則為高度高血壓人群.一位收縮壓為180mmHg的70歲的老人，屬于哪類(lèi)人群？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某地統(tǒng)計(jì)局調(diào)查了10000名居民的月收入，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制了樣本的頻率分布直方圖如圖所示。

（1）求居民月收入在[3000,3500）內(nèi)的頻率；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖求出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；

（3）為了分析居民的月收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，必須按月收入再?gòu)倪@10000中用分層抽樣的方法抽出100人做進(jìn)一步分析，則應(yīng)從月收入在[2500,3000)內(nèi)的居民中抽取多少人？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某縣大潤(rùn)發(fā)超市為了惠顧新老顧客，決定在2019年元旦來(lái)臨之際舉行“慶元旦，迎新年”的抽獎(jiǎng)派送禮品活動(dòng).為設(shè)計(jì)一套趣味性抽獎(jiǎng)送禮品的活動(dòng)方案，該超市面向該縣某高中學(xué)生征集活動(dòng)方案.該中學(xué)某班數(shù)學(xué)興趣小組提供的方案獲得了征用.方案如下：將一個(gè)的正方體各面均涂上紅色，再把它分割成64個(gè)相同的小正方體.經(jīng)過(guò)攪拌后，從中任取兩個(gè)小正方體，記它們的著色面數(shù)之和為，記抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的禮金為.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）凡是元旦當(dāng)天在超市購(gòu)買(mǎi)物品的顧客，均可參加抽獎(jiǎng).記抽取的兩個(gè)小正方體著色面數(shù)之和為6，設(shè)為一等獎(jiǎng)，獲得價(jià)值50元禮品；記抽取的兩個(gè)小正方體著色面數(shù)之和為5，設(shè)為二等獎(jiǎng)，獲得價(jià)值30元禮品；記抽取的兩個(gè)小正方體著色面數(shù)之和為4，設(shè)為三等獎(jiǎng)，獲得價(jià)值10元禮品，其他情況不獲獎(jiǎng).求某顧客抽獎(jiǎng)一次獲得的禮金的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在工業(yè)生產(chǎn)中，對(duì)一正三角形薄鋼板（厚度不計(jì)）進(jìn)行裁剪可以得到一種梯形鋼板零件，現(xiàn)有一邊長(zhǎng)為3（單位：米）的正三角形鋼板（如圖），沿平行于邊的直線將剪去，得到所需的梯形鋼材,記這個(gè)梯形鋼板的周長(zhǎng)為 （單位：米），面積為（單位：平方米）.

（1）求梯形的面積關(guān)于它的周長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若在生產(chǎn)中，梯形的面積與周長(zhǎng)之比（即）達(dá)到最大值時(shí)，零件才能符合使用要求，試確定這個(gè)梯形的周長(zhǎng)為多時(shí)，該零件才可以在生產(chǎn)中使用？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在的單調(diào)性；

（2）當(dāng)且時(shí)，，求函數(shù)在上的最小值；

（3）當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】半期考試后，班長(zhǎng)小王統(tǒng)計(jì)了50名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)，繪制頻率分布直方圖如圖所示．

根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這50名同學(xué)的數(shù)學(xué)平均成績(jī)；

用分層抽樣的方法從成績(jī)低于115的同學(xué)中抽取6名，再在抽取的這6名同學(xué)中任選2名，求這兩名同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)均在中的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，為的中點(diǎn)，是棱上的點(diǎn)，，，．

（1）求證：平面平面；

（2）若，求二面角的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其圖象的相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為．

（1）求函數(shù)的解析式及對(duì)稱(chēng)中心；

（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于x的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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