Question

【題目】在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E為BB1中點．

（1）證明：AC⊥D1E；
（2）求DE與平面AD1E所成角的正弦值；
（3）在棱AD上是否存在一點P，使得BP∥平面AD1E？若存在，求DP的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接BD

∵ABCD﹣A1B1C1D1是長方體，∴D1D⊥平面ABCD，

又AC平面ABCD，∴D1D⊥AC

在長方形ABCD中，AB=BC，∴BD⊥AC

又BD∩D1D=D，∴AC⊥平面BB1D1D，

而D1E平面BB1D1D，∴AC⊥D1E

（2）解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A（1，0，0），D1（0，0，2），E（1，1，1），B（1，1，0），

∴

設(shè)平面AD1E的法向量為 ，則 ，即

令z=1，則

∴

∴DE與平面AD1E所成角的正弦值為

（3）解：假設(shè)在棱AD上存在一點P，使得BP∥平面AD1E．

設(shè)P的坐標(biāo)為（t，0，0）（0≤t≤1），則

∵BP∥平面AD1E

∴ ，即 ，

∴2（t﹣1）+1=0，解得 ，

∴在棱AD上存在一點P，使得BP∥平面AD1E，此時DP的長 ．

【解析】（1）利用線面垂直的判定定理，證明AC⊥平面BB1D1D，即可得到AC⊥D1E；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，確定面AD1E的法向量，利用向量的夾角公式，即可求DE與平面AD1E所成角的正弦值；（3）利用BP∥平面AD1E，可得 ，利用向量的數(shù)量積公式，可得結(jié)論．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；垂直于同一個平面的兩條直線平行才能正確解答此題．