【題目】已知橢圓:的離心率為,過橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)(點(diǎn)在第一象限).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)已知為橢圓的左頂點(diǎn),平行于的直線與橢圓相交于兩點(diǎn).判斷直線是否關(guān)于直線對稱,并說明理由.
【答案】(1);(2)對稱.
【解析】
試題(Ⅰ)由已知條件推導(dǎo)出c=1,,由此能求出橢圓的方程.
(Ⅱ)由已知條件得A(-2,0),M(1,),設(shè)直線l: ,n≠1.設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),由,得x2+nx+n2﹣3=0.再由根的判別式和韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出直線MB,MC關(guān)于直線m對稱.
試題解析:
(Ⅰ)由題意得c=1,
由=可得a=2,
所以b2=a2-c2=3,
所以橢圓的方程為+=1.
(Ⅱ)由題意可得點(diǎn)A(-2,0),M(1,),
所以由題意可設(shè)直線l:y=x+n,n≠1.
設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),
由得x2+nx+n2-3=0.
由題意可得Δ=n2-4(n2-3)=12-3n2>0,即n∈(-2,2)且n≠1.
x1+x2=-n,x1x2=n2-3
因?yàn)?/span>kMB+kMC=+
=+
=1++
=1+
=1-=0,
所以直線MB,MC關(guān)于直線m對稱.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓,定義橢圓C的“相關(guān)圓”E為:.若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓C的右焦點(diǎn)重合,且橢圓C的短軸長與焦距相等.
(1)求橢圓C及其“相關(guān)圓”E的方程;
(2)過“相關(guān)圓”E上任意一點(diǎn)P作其切線l,若l 與橢圓交于A,B兩點(diǎn),求證:為定值(為坐標(biāo)原點(diǎn));
(3)在(2)的條件下,求面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(數(shù)學(xué)文卷·2017屆重慶十一中高三12月月考第16題) 現(xiàn)介紹祖暅原理求球體體積公式的做法:可構(gòu)造一個(gè)底面半徑和高都與球半徑相等的圓柱,然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn),圓柱上底面為底面的圓錐,用這樣一個(gè)幾何體與半球應(yīng)用祖暅原理(圖1),即可求得球的體積公式.請研究和理解球的體積公式求法的基礎(chǔ)上,解答以下問題:已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ,將此橢圓繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后,得一橄欖狀的幾何體(圖2),其體積等于______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左焦點(diǎn)為,經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于,兩點(diǎn),點(diǎn)為線段的中點(diǎn),點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).當(dāng)直線的斜率為時(shí),直線的斜率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn),點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn),過的動(dòng)直線交該橢圓于,兩點(diǎn),記的面積為,的面積為,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)A是以BC為直徑的圓O上異于B,C的動(dòng)點(diǎn),P為平面ABC外一點(diǎn),且平面PBC⊥平面ABC,BC=3,PB=2,PC,則三棱錐P﹣ABC外接球的表面積為______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),且經(jīng)過點(diǎn),它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線E:的焦點(diǎn)重合,斜率為k的直線l交拋物線E于A、B兩點(diǎn),交橢圓于C、D兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)直線l經(jīng)過點(diǎn),設(shè)點(diǎn),且的面積為,求k的值;
(3)若直線l過點(diǎn),設(shè)直線,的斜率分別為,,且,,成等差數(shù)列,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分13分)如圖,在直角坐標(biāo)系中,角的頂點(diǎn)是原點(diǎn),始邊與軸正半軸重合.終邊交單位圓于點(diǎn),且,將角的終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),交單位圓于點(diǎn),記.
(1)若,求;
(2)分別過作軸的垂線,垂足依次為,記的面積為,的面積為,若,求角的值.
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