Question

已知f(x)=

a

•

b

-1，其中向量

a

=(sin2x，2cosx)，

b

=(

3

，cosx)，（x∈R）．
（1） 求f（x）的最小正周期和最小值；
（2） 在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若f(

A

4

)=

3

，a=2

13

，b=8，求邊長c的值．

Answer 1

分析：先利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示及輔助角公式對(duì)函數(shù)整理可得，f（x）=2sin（2x+

π

6

）
（1）利用周期公式T=

2π

ω

 可求ω，觀察函數(shù)可知最小值-2
（2）由f(

A

4

)=

3

代入整理可得，sin（

A

2

+

π

6

）=

3

2

，從而可求A，然后利用余弦定理a²=b²+c²-2bccosA可求c的值．

解答：解：∵（1）f（x）=

a

•

b

-1=（sin2x，2cosx）•（

3

，cosx）-1
=

3

sin2x+2cos2x-1=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

）
∴f（x）的最小正周期為π，最小值為-2
（2）f（

A

4

）=2sin（

A

2

+

π

6

）=

3

∴sin（

A

2

+

π

6

）=

3

2

∴

A

2

+

π

6

=

π

3

∴A=

π

3

或A=π（舍去）
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA
52=64+c²-8c即c²-8c+12=0
從而c=2或c=6

點(diǎn)評(píng)：本題以向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示為切入點(diǎn)，考查了輔助角 asinx+bcosx=

a2+b2

sin(x+θ)把函數(shù)化為一個(gè)角的三角函數(shù)，進(jìn)而可以借助于該函數(shù)研究函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，還考查了由三角函數(shù)值求角及由余弦定理求解三角形等知識(shí)的綜合運(yùn)用．