Question

【題目】已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）若，求函數(shù)在處的切線方程；

（2）若函數(shù)在定義域上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù)在區(qū)間)上存在極值，求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）或（3）證明見解析

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在處的切線方程；（2）對分兩種情況討論，當(dāng)時(shí)，再分三種情況結(jié)合導(dǎo)數(shù)分類討論；（3）先求出，要使得在上存在極值，則須滿足即分析推理即可得到.

（1）當(dāng)時(shí)，，，，，

所以函數(shù)在處得切線方程為．

（2）因?yàn)?/span>，，，

所以．

①若，則，在上是單調(diào)增函數(shù)，

所以在上至多一個(gè)零點(diǎn)，與題意不符合．

②若，令，得．

		0
		極小值

（�。┤�，即時(shí)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，與題意不符．

（ⅱ）若，即時(shí)，，，

又，且的圖像在上不間斷，

所以存在，使得．

此時(shí)，在恰有兩個(gè)不同得零點(diǎn)和．

所以符合題意．

（ⅲ）若，即時(shí)，．

令，，，

所以在上是單調(diào)增函數(shù)，，

所以在上是單調(diào)增函數(shù)，．

所以，且，的圖像在上不間斷，

所以存在，使得．

此時(shí)，在恰有兩個(gè)不同得零點(diǎn)和．

所以符合題意．

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是或．

（3）依題意，．

則，令，，，

所以在上是單調(diào)增函數(shù)．

要使得在上存在極值，

則須滿足即

所以，，即．

由（2）可知，當(dāng)時(shí)，，

所以，．

所以，即，

所以．