Question

已知函數(shù)f(x)=x-

1

x

．
（1）討論并證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）的單調(diào)性；
（2）若對(duì)任意的x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用單調(diào)性的定義，根據(jù)步驟：取值，作差，變形，定號(hào)下結(jié)論，即可得到結(jié)論；
（2）原不等式等價(jià)于2mx-

1

mx

-

m

x

＜0對(duì)任意的x∈[1，+∞）恒成立，等價(jià)于2mx2-m-

1

m

＜0對(duì)任意的x∈[1，+∞）恒成立，從而可得m＜0，且2m-m-

1

m

＜0，進(jìn)而可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)增
證明：任取0＜x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=(x1-

1

x1

)-(x2-

1

x2

)=(x1-x2)(1+

1

x1x 2

)，
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0
∴(x1-x2)(1+

1

x1x 2

)＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)增
（2）原不等式等價(jià)于2mx-

1

mx

-

m

x

＜0對(duì)任意的x∈[1，+∞）恒成立
整理得，2mx2-m-

1

m

＜0對(duì)任意的x∈[1，+∞）恒成立
若m＞0，則左邊對(duì)應(yīng)的函數(shù)，開口向上，故x∈[1，+∞）時(shí)，必有大于0的函數(shù)值
∴m＜0，且2m-m-

1

m

＜0，
∴m＜0，且

m2-1

m

＜0
∴m＜-1

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)恒成立問題，依據(jù)單調(diào)性的定義，正確轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．