【題目】已知函數f(x)=xe2x﹣lnx﹣ax.
(1)當a=0時,求函數f(x)在[ ,1]上的最小值;
(2)若x>0,不等式f(x)≥1恒成立,求a的取值范圍;
(3)若x>0,不等式f( )﹣1≥ e + 恒成立,求a的取值范圍.
【答案】
(1)解:a=0時,f(x)=xe2x﹣lnx,
∴ , ,
∴函數f′(x)在(0,+∞)上是增函數,
又函數f′(x)的值域為R,
故x0>0,使得f′(x0)=(2x0+1)e ﹣ =0,
又∵ ,∴ ,∴當x∈[ ]時,f′(x)>0,
即函數f(x)在區(qū)間[ ,1]上遞增,∴
(2)解: ,
由(1)知函數f′(x)在(0,+∞)上是增函數,且x0>0,使得f′(x0)=0,
進而函數f(x)在區(qū)間(0,x0)上遞減,在(x0,+∞)上遞增,
﹣lnx0﹣ax0,
由f′(x0)=0,得:(2x0+1)e ﹣ ﹣a=0,
∴ ,∴f(x0)=1﹣lnx0﹣2x02 ,
∵x>0,不等式f(x)≥1恒成立,
∴1﹣lnx0﹣2x02e ≥1,∴l(xiāng)nx0+2x02 ≤0,
設h(x0)=lnx0+2x e ,則h(x0)為增函數,且有唯一零點,設為t,
則h(t)=lnt+2t2e2t=0,則﹣lnt=2t2e2t,即 ,
令g(x)=xex,則g(x)單調遞增,且g(2t)=g( ),
則2t=ln ,即 ,
∵a=(2x0+1) ﹣ 在(0,t]為增函數,
則當x0=t時,a有最大值, = ,
∴a≤2,∴a的取值范圍是(﹣∞,2]
(3)解:由f( )﹣1≥ ,
得 ,
∴xlnx﹣x﹣a≥ ,∴a 對任意x>0成立,
令函數g(x)=xlnx﹣x﹣ ,∴ ,
當x>1時,g′(x)>0,當0<x<1時,g′(x)<0,
∴當x=1時,函數g(x)取得最小值g(1)=﹣1﹣ =﹣1﹣ ,
∴a≤﹣1﹣ .
∴a的取值范圍是(﹣∞,﹣1﹣ )
【解析】(1)a=0時, , ,由此利用導數性質能求出函數f(x)在[ ,1]上的最小值.
(2) ,函數f(x)在區(qū)間(0,x0)上遞減,在(x0,+∞)上遞增,由x>0,不等式f(x)≥1恒成立,得lnx0+2x02 ≤0,由此能求出a的取值范圍.
(3)由f( )﹣1≥ ,得a 對任意x>0成立,令函數g(x)=xlnx﹣x﹣ ,則 ,由此利用導數性質能求出a的取值范圍.
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數是解答本題的根本,需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內,(1)如果,那么函數在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果,那么函數在這個區(qū)間單調遞減;求函數在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數在內的極值;(2)將函數的各極值與端點處的函數值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.
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【題目】如圖,平行四邊形ABCD中,BC=2AB=4,∠ABC=60°,PA⊥AD,E,F分別為BC,PE的中點,AF⊥平面PED.
(1)求證:PA⊥平面ABCD
(2)求直線BF與平面AFD所成角的正弦值.
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【題目】已知橢圓 內有一點M(2,1),過M的兩條直線l1 , l2分別與橢圓E交于A,C和B,D兩點,且滿足 (其中λ>0,且λ≠1),若λ變化時,AB的斜率總為 ,則橢圓E的離心率為( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】[選修4-4:參數方程與極坐標系]
以直角坐標系的原點O為極點,x軸正半軸為極軸,并在兩種坐標系中取相同的長度單位,已知直線l的參數方程為 ,(t為參數,0<θ<π),曲線C的極坐標方程為ρsin2θ﹣2cosθ=0.
(1)求曲線C的直角坐標方程;
(2)設直線l與曲線C相交于A,B兩點,當θ變化時,求|AB|的最小值.
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【題目】已知命題p:函數f(x)= 的圖象的對稱中心坐標為(1,1);命題q:若函數g(x)在區(qū)間[a,b]上是增函數,則有g(a)(b﹣a)< g(x)dx<g(b)(b﹣a)成立.下列命題為真命題的是( )
A.p∧q
B.¬p∧q
C.p∧¬q
D.¬p∧¬q
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