【題目】甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽．假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．

(1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率；

(2)記X為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望)．

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：

(1)由題意列出所有可能的事件求解概率可得甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率是；

(2)X的可能取值為2,3,4,5.據(jù)此求得分布列，然后可得數(shù)學(xué)期望為 .

試題解析：

用A表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽”，Ak表示“第k局甲獲勝”，Bk表示“第k局乙獲勝”，則P(Ak)＝，P(Bk)＝，k＝1,2,3,4,5.

(1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)

＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)·P(A3)P(A4)

＝2＋×2＋××2＝.

(2)X的可能取值為2,3,4,5.

P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝，

P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)

＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝，

P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)

＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)＝，

P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝.

故X的分布列為

2

3

4

5

E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（1）求直線和曲線的普通方程；

（2）設(shè)直線和曲線交于兩點(diǎn)，求.

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【題目】已知，函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；

（2）若關(guān)于的方程的解集中恰有一個(gè)元素，求的值；

（3）設(shè)，若對(duì)任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過(guò)1，求的取值范圍.

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【題目】在一次招聘中，主考官要求應(yīng)聘者從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3道題，并獨(dú)立完成所抽取的3道題。甲能正確完成其中的4道題，乙能正確完成每道題的概率為，且每道題完成與否互不影響。

⑴記所抽取的3道題中，甲答對(duì)的題數(shù)為X，則X的分布列為____________；

⑵記乙能答對(duì)的題數(shù)為Y，則Y的期望為_________．

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【題目】某次考試中，語(yǔ)文成績(jī)服從正態(tài)分布，數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如下：

（Ⅰ）如果成績(jī)大于135的為特別優(yōu)秀，隨機(jī)抽取的500名學(xué)生在本次考試中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)成績(jī)特別優(yōu)秀的大約各多少人？（假設(shè)數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)陬l率分布直方圖中各段是均勻分布的）

（Ⅱ）如果語(yǔ)文和數(shù)學(xué)兩科都特別優(yōu)秀的共有6人，從（Ⅰ）中至少有一科成績(jī)特別優(yōu)秀的同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，設(shè)3人中兩科都特別優(yōu)秀的有人，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（Ⅲ）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，是否有99%的把握認(rèn)為語(yǔ)文特別優(yōu)秀的同學(xué)，數(shù)學(xué)也特別優(yōu)秀.

（附公及表）

①若，則， ；

②， ；

③

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【題目】(1)求經(jīng)過(guò)兩直線2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交點(diǎn)且與直線3x＋y－1＝0平行的直線l的方程；

(2)求經(jīng)過(guò)兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點(diǎn)P，且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程．

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【題目】已知集合．對(duì)于， ，定義與之間的距離為．

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（Ⅱ）若集合滿足： ，且任意兩元素間的距離均為2，求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值并寫(xiě)出此時(shí)的集合；

（Ⅲ）設(shè)集合， 中有個(gè)元素，記中所有兩元素間的距離的平均值為，證明．

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