①若f(x)是定義在[-1,1]上的偶函數(shù),且在[-1,0]上是增函數(shù),θ∈(
π
4
π
2
),則f(sinθ)>f(cosθ);
②若銳角α、β滿足cosα>sinβ 則α+β<
π
2
;
③在△ABC中,“A>B”是“sinA>sinB”成立的充要條件;
④要得到函數(shù)y=sin(
x
2
-
π
4
)
的圖象,只需將y=sin
x
2
的圖象向右平移
π
4
個單位.
其中是真命題的有
②③
②③
(填寫正確命題題號)
分析:根據(jù)偶函數(shù)的軸對稱性,可判斷函數(shù)的單調(diào)性,來判斷f(sinθ)、f(cosθ)的大小;利用三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,由函數(shù)值的大小,判斷角的大小.
解答:解:∵θ∈(
π
4
,
π
2
),1>sinθ>cosθ>0,∵f(x)是[-1,1]上的偶函數(shù),且在[-1,0]上是增函數(shù),∴f(x)在[0,1]上是減函數(shù),∴f(sinθ)<f(cosθ),∴①×;
∵α、β為銳角,
π
2
-α為銳角,cosα=sin(
π
2
-α)>sinβ,y=sinx在[0,
π
2
]遞增,∴
π
2
-α>β,α+β<
π
2
,②√;
∵在△ABC中,若A<
π
2
,∵
π
2
>A>B>0⇒sinA>sinB;若A>
π
2
,∵A+B<π,∴0<B<π-A<
π
2
,sinB<sinA,∴滿足充分性;
反過來sinA>sinB,若A、B∈(0,
π
2
],A>B;若A、B有一個為鈍角,設B>
π
2
,sinA>sinB=sin(π-B),A+B>π與△ABC中,A+B+C=π矛盾,∴B<
π
2
,∴A為鈍角,A>B,滿足必要性.③√:
∵函數(shù)y=sin(
x
2
-
π
4
)=sin
1
2
(x-
π
2
)可由y=sin
x
2
向左平移
π
2
單位或向右平移4kπ-
π
2
個單位得到,∴④×
故答案是②③
點評:本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)及應用、圖象變化規(guī)律、及充要條件的判斷等知識,尤其是充要條件的判斷,既要判斷充分性,又要判斷必要性.另三角函數(shù)單調(diào)性的應用一定要討論角的范圍.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設y=f(x)是定義在區(qū)間(a,b)(b>a)上的函數(shù),若對?x1、x2∈(a,b),都有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|,則稱y=f(x)是區(qū)間(a,b)上的平緩函數(shù).
(1)試證明對?k∈R3,f(x)=x2+kx+14都不是區(qū)間(-1,1)5上的平緩函數(shù);
(2)若f(x)是定義在實數(shù)集R上的、周期為T=2的平緩函數(shù),試證明對?x1、x2∈R,|f(x1)-f(x2)|≤1.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

14、下列命題中:
①若函數(shù)f(x)的定義域為R,則g(x)=f(x)+f(-x)一定是偶函數(shù);
②若f(x)是定義域為R的奇函數(shù),對于任意的x∈R都有f(x)+f(2-x)=0,則函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=1對稱;
③已知x1,x2是函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的兩個值,且x1<x2,若f(x1)>f(x2),則f(x)是減函數(shù);
④若f (x)是定義在R上的奇函數(shù),且f (x+2)也為奇函數(shù),則f (x)是以4為周期的周期函數(shù).
其中正確的命題序號是
①④

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若f(x)是定義在(0,+∞)上的增函數(shù),且對一切x,y>0,滿足f(
x
y
)=f(x)-f(y).
(Ⅰ)求f(1)的值;
(Ⅱ)若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f(
1
3
)<2.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知下列命題四個命題:
①若f(x)是定義在[-1,1]上的偶函數(shù),且在[-1,0)上是增函數(shù),θ∈(
π
4
,
π
2
)
,則f(sinθ)>f(cosθ);
②在△ABC中,A>B是cosA<cosB的充要條件;
③設函數(shù)f(x)=x2+2(-2≤x<0),其反函數(shù)為f-1(x),則f-1(3)=-1或1.
④在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,已知b2+c2=a2+bc,則A=
π
3

其中真命題的個數(shù)有( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若f(x)是定義在[0,+∞)上的增函數(shù),則不等式f(2x-1)<f(
13
)
的解集為
 

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