在如圖所示的多面體中,已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直,BC⊥AC,EF∥AC,AB=
2
,EF=EC=1.
(1)求證:AF∥平面BDE;
(2)求證:DF⊥平面BEF;
(3)求二面角A-BF-E的余弦值.
分析:(1)利用線面平行的判定,證明AF∥EO即可;
(2)利用線面垂直的判定,證明BF⊥EF,BF⊥DF,即可證得BF⊥平面DEF;
(3)取BF中點M,BE中點N,連接AM、MN、AN,則∠AMN就是二面角A-BF-E的平面角,由此可求二面角A--BF--E的余弦值.
解答:(1)證明:設(shè)AC與BD交與點O.
∵EF∥AO,且EF=1,AO=
1
2
AC=1.
∴四邊形AOEF為平行四邊形,
∴AF∥EO,
∵EO?面BDE,AF?面BDE,∴AF∥面BDE.…(3分)
(2)證明:∵正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面相互垂直,且CE⊥AC,∴CE⊥面ABCD,
連接FO,∵正方形ABCD的邊長為
2
,∴AC=BD=2;
直角梯形ACEF中,F(xiàn)O∥EC,且FO=1,DF=BF=
2
,DE=BE=
3
,則BF⊥EF,
由BF=DF=
2
,BD=2可知BF⊥DF,
∵EF∩DF=F
∴DF⊥平面BEF;…(7分)
(3)解:取BF中點M,BE中點N,連接AM、MN、AN,
∵AB=BF=AF=
2
,∴AM⊥BF,
又∵MN∥EF,EF⊥BF,∴MN⊥BF,
∴∠AMN就是二面角A-BF-E的平面角.
AM=
3
2
AB=
6
2
,MN=
1
2
EF=
1
2
;
在Rt△APN中,可得AN2=AP2+NP2=
11
4
,
∴在△AMN中,可得cos∠AMN=
AM2+MN2-AN2
2AM•MN
=-
6
3
,…(12分)
點評:本題考查線面平行、線面垂直,考查面面角,考查學生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)在如圖所示的多面體中,已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直,EC⊥AC,EF∥AC,AB=
2
,EF=EC=1,
(1)求證:平面BEF⊥平面DEF;
(2)求二面角A-BF-E的大小.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

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(Ⅱ)求二面角B-ED-A的正切值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)在如圖所示的多面體中,已知正方形ABCD和
直角梯形BDEF所在的平面互相垂直,EF∥BD,
ED⊥BD,AD=
2
,EF=ED=1,點P為線段
EF上任意一點.
(Ⅰ)求證:CF⊥AP;
(Ⅱ)求二面角B-AF-E的余弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•日照一模)在如圖所示的多面體中,EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF,EF∥BC,BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G是BC的中點.
(1)求證:BD⊥EG;
(2)求平面DEG與平面DEF所成銳二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在如圖所示的多面體中,AA1∥BB1,CC1⊥AC,CC1⊥BC.
(1)求證:CC1⊥AB;
(2)求證:CC1∥AA1

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