Question

函數(shù)f（x）=x³+ax與f（x）=bx²+c
（1）若點(diǎn)P（1，0）是函數(shù)與f（x）與g（x）的圖象的一個(gè)公共點(diǎn)，且兩函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處有相同的切線，求a，b，c
（2）若函數(shù)y=f（x）點(diǎn)（1，f（1））處的切線為1，若l與圓C：x2+y2=

1

4

相切，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用求導(dǎo)法則分別求出函數(shù)f（x）和g（x）的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)題意得到f'（1）=g′（1），代入后得到關(guān)系式，記作①
式，把P坐標(biāo)代入f（x）得到關(guān)系式，記作②式，把P坐標(biāo)代入g（x）得到關(guān)系式，記作③式，三式聯(lián)立求出a，b及c的值即可；
（2）把x=1代入f（x）表示出f（1），進(jìn)而表示出切點(diǎn)的坐標(biāo)，把x=1代入導(dǎo)函數(shù)中求出的導(dǎo)函數(shù)值即為切線的斜率，由切點(diǎn)坐標(biāo)和斜率寫出切線的方程，然后由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程找出圓心坐標(biāo)和圓的半徑，根據(jù)圓心到切線l的距離等于圓的半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于a的方程，求出方程的解，即可得到a的值．

解答：解：（1）f′（x）=3x²+a，g′（x）=2bx，
由f'（1）=g′（1）得：3+a=2b①，
由已知得：1+a=0②，b+c=0③，
解得：a=-1，b=-1，c=-1；
（2）f（1）=1+a，k=f′（1）=3+a，
∴l(xiāng)方程為（a+3）x-y-2=0，
∵l與圓相切，
∴

|-2|

(a+3)2+1

=

1

2

則a=-3±

15

．

點(diǎn)評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：求導(dǎo)法則，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，點(diǎn)到直線的距離公式，直線的點(diǎn)斜式方程，其中切點(diǎn)橫坐標(biāo)所對應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)值為切線方程的斜率，直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于圓的半徑，熟練掌握以上性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．