Question

10．如圖，四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，AB=PA=PD=3，CD=1，BC=4，E為線段AB上一點(diǎn)，AE=$\frac{1}{2}$BE，F(xiàn)為PD的中點(diǎn)．
（1）證明：PE∥平面ACF；
（2）求二面角A-CF-B的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連接CE，DE，設(shè)DE∩AC=O，連接FO，推導(dǎo)出四邊形AECD為平行四邊形，從而OF∥PE，由此能證明PE∥平面ACF．
（2）取AD的中點(diǎn)G，連接PG，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CD，CB所在直線為x軸，y軸，$\overrightarrow{GP}$為z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，利用向量法能求出二面角A-PB-C的正弦值．

解答 證明：（1）連接CE，DE，設(shè)DE∩AC=O，連接FO，
∵$AE=\frac{1}{2}BE，AB=3，CD=1，AB∥CD$，∴$AE\underline{\underline∥}CD$，
∴四邊形AECD為平行四邊形，且O是DE的中點(diǎn)，
又∵F為PD的中點(diǎn)，∴OF∥PE，
∵OF?平面ACF，PE?平面ACF，
∴PE∥平面ACF．
解：（2）取AD的中點(diǎn)G，連接PG，
由PA=PD，得PG⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PG⊥AD，
∴PG⊥平面ABCD，在Rt△CBE中，$CE=\sqrt{C{B^2}+E{B^2}}=\sqrt{{4^2}+{2^2}}=2\sqrt{5}$，
在等腰△PAD中，$AD=2\sqrt{5}$，∴$PG=\sqrt{P{A^2}-A{G^2}}=\sqrt{{3^2}-{{（{\sqrt{5}}）}^2}}=2$，
以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CD，CB所在直線為x軸，y軸，$\overrightarrow{GP}$為z軸正方向，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz，
由題知，$A（{3，4，0}），B（{0，4，0}），D（{1，0，0}），P（{2，2，2}），F(xiàn)（{\frac{3}{2}，1，1}）$，
∴$\overrightarrow{CF}=（{\frac{3}{2}，1，1}），\overrightarrow{CB}=（{0，4，0}），\overrightarrow{CA}=（{3，4，0}）$
設(shè)$\overrightarrow n=（{{x_1}，{y_1}，{z_1}}）$是平面CBF的法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{CB}•\overrightarrow n=0\\ \overrightarrow{CF}•\overrightarrow n=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}4{y_1}=0\\ \frac{3}{2}{x_1}+{y_1}+{z_1}=0\end{array}\right.$，∴$\overrightarrow n=（{2，0，-3}）$．
設(shè)$\overrightarrow m=（{{x_2}，{y_2}，{z_2}}）$是平面CAF的法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{CA}•\overrightarrow m=0\\ \overrightarrow{CF}•\overrightarrow m=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}3{x_2}+4{y_2}=0\\ \frac{3}{2}{x_2}+{y_2}+{z_2}=0\end{array}\right.$得$\overrightarrow m=（{4，-3，-3}）$．
∴$cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow m＞=\frac{\overrightarrow n•\overrightarrow m}{{|{\overrightarrow n}|•|{\overrightarrow m}|}}=\sqrt{\frac{17}{26}}$，
設(shè)二面角A-CF-B的平面角為θ，
則sinθ=$\sqrt{1-（\sqrt{\frac{17}{26}}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{26}}{26}$．
∴二面角A-PB-C的正弦值為$\frac{{3\sqrt{26}}}{26}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查二面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．