Question

【題目】已知常數(shù)，數(shù)列的前項和為， ， ；

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）若，且是單調(diào)遞增數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若， ，對于任意給定的正整數(shù)，是否存在正整數(shù)、，使得？若存在，求出、的值(只要寫出一組即可)；若不存在，請說明理由；

Answer 1

【答案】(1) (2) (3) ， (或， ；…)

【解析】試題分析：(1)將條件中分式變成整式得，把換成得，兩式相減化簡可得，化簡得，根據(jù)等差數(shù)列定義可知數(shù)列為等差數(shù)列，由等差數(shù)列通項公式寫出公式即可。（2）由（1）可得，因為數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，所以， ，化簡得，因為的正負(fù)與是奇數(shù)、偶數(shù)有關(guān)，故分兩種情況討論。當(dāng)是奇數(shù)時， 可變?yōu)?/span>恒成立，構(gòu)造函數(shù)求不等式右邊的最大值，令，用函數(shù)單調(diào)性定義可證明單調(diào)性為減函數(shù)，所以；當(dāng)是偶數(shù)時， 可變?yōu)?/span>恒成立，構(gòu)造函數(shù)求不等式右邊的最小值，令，利用函數(shù)單調(diào)性定義證明函數(shù)為增函數(shù)，所以 。可得所求范圍。（3）由（1）及可求出，所以 。假設(shè)對任意，總存在正整數(shù)，使，可得關(guān)于的關(guān)系式 整理可得，給出的值，可求出的值。

試題解析：解：(1)

∴是以為首項， 為公差的等差數(shù)列，∴

(2) ,即

若為奇數(shù)，則恒成立，

考察，

即，∴；

若為偶數(shù)，則恒成立，

考察，

即，∴；綜上所述， ；

(3)由(1) .假設(shè)對任意，總存在正整數(shù)，使，

則

令，則 (或，則；…)

∴ (或；…)