已知奇函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=1處取得極大值2.
(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式;
(2)對(duì)于區(qū)間[-2,2]上任意兩個(gè)自變量的值x1,x2都有|f(x1)-f(x2)|≤c,求實(shí)數(shù)c的最小值;
(3)若關(guān)于p的一元二次方程p2-2mp+4=0兩個(gè)根均大于1,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
【答案】分析:(1)根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)f(-x)=f(x),已知條件函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=1處取得極大值2可以推出f′(1)=0和f(1)=2,代入即可求得函數(shù)y=f(x)的解析式;
(2)根據(jù)題意對(duì)于區(qū)間[-2,2]上任意兩個(gè)自變量的值x1,x2都有|f(x1)-f(x2)|≤c,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為)|f(x1)-f(x2)|≤|f(x)max-f(x)min|,求出f(x)的最大值和最小值即可;
(3)已知關(guān)于p的一元二次方程p2-2mp+4=0兩個(gè)根均大于1,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出m的范圍,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g(x)的單調(diào)性;
解答:解:(1)∵奇函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=1處取得極大值2,奇函數(shù)f(-x)=-f(x),解得b=0,
可得f′(x)=3ax2+c
由題,解得,f(x)=-x3+3x;
(2)|f(x1)-f(x2)|≤|f(x)max-f(x)min|=4,
根據(jù)(1)可得f(x)=-x3+3x;
求導(dǎo)得f′(x)=-3x2+3=-3(x2-1)令f′(x)=0,可得x=1或-1,
當(dāng)f′(x)>0即-1<x<1,f(x)為增函數(shù),
當(dāng)f′(x)<0時(shí)即x>1或x<-1,f(x)為減函數(shù),
f(x)在x=1處取極大值f(1)=2,在x=-1處取得極小值f(-1)=-,2;
f(-2)=2,f(2)=-2,
∴f(x)max=2,f(x)min=-2,
要使對(duì)于區(qū)間[-2,2]上任意兩個(gè)自變量的值x1,x2都有|f(x1)-f(x2)|≤c,
∴|f(x1)-f(x2)|≤|f(x)max-f(x)min|=4,
故c的最小值為4;
(3)p2-2mp+4=0兩個(gè)根均大于1,
則求得,g(x)=-x2+3+mlnx,則x>0.

,則時(shí),g'(x)>0,
是g(x)的單調(diào)增區(qū)間,時(shí),g'(x)<0,故是g(x)的單調(diào)減區(qū)間.
點(diǎn)評(píng):此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查的知識(shí)點(diǎn)比較全面是一道中檔題,這類題是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題;
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已知奇函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù),則關(guān)于a的不等式f(a2)+f(2a)>0的解集是( 。

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(1)已知f(x)=lg
1-x1+x
,判斷f(x)的奇偶性
(2)已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,x∈(-∞,0)時(shí),f(x)=-x2-x-1,求f(x)解析式.

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下面四個(gè)命題:
①已知函數(shù)f(x)=
x
 ,x≥0 
-x
 ,x<0 
且f(a)+f(4)=4,那么a=-4;
②一組數(shù)據(jù)18,21,19,a,22的平均數(shù)是20,那么這組數(shù)據(jù)的方差是2;
③要得到函數(shù)y=sin(2x+
π
3
)
的圖象,只要將y=sin2x的圖象向左平移
π
3
單位;
④已知奇函數(shù)f(x)在(0,+∞)為增函數(shù),且f(-1)=0,則不等式f(x)<0的解集{x|x<-1}.
其中正確的是

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(x)是以2為周期的周期函數(shù),數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,則f(a1)+f(a2)+…+f(a2008)的值為(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知奇函數(shù)f(x)滿足f(x)=-f(x+2),當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=x,若af2(x)+bf(x)+c=0在x∈[0,6]上恰有5個(gè)根,且記為xi(i=1,2,3,4,5),則x1+x2+x3+x4+x5=
 

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