Question

已知函數f（x）=（x²+2x）•e^-x，關于f（x）給出下列四個命題：
①x∈（-2，0）時，f（x）＜0；
②x∈（-1，1）時，f（x）單調遞增；
③函數f（x）的圖象不經過第四象限；
④f（x）=

1

2

有且只有三個實數解．
其中全部真命題的序號是

①、②、③、④

．

Answer 1

分析：①x∈（-2，0）時，考察x²+2x的函數值，即可判斷函數f（x）的值的正負；②利用導數研究函數的單調性，先求出f（x）的導數，根據f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調減區(qū)間．利用②的結論結合函數的最值，研究函數的圖象特征，從而得出③函數f（x）的圖象不經過第四象限；④f（x）=

1

2

有且只有三個實數解．

解答：解：①x∈（-2，0）時，x²+2x=x（x+2）＜0，而e^-x＞0，
∴f（x）＜0，故①正確；
②∵f′（x）=-e^-x（x²+2x）+e^-x（2x+2）=-e^-x（x²-2），
∴f（x）的單調遞增區(qū)間為（-

2

，

2

），單調遞減區(qū)間為（-∞，-

2

），（

2

，+∞）．
∴x∈（-1，1）時，f（x）單調遞增．②正確，
又當x=

2

時，函數取得最大值（2+2

2

）e -

2

＞0.5，
當x=-

2

時，函數取得最大值（2-2

2

）e 

2

＜-3，
當x=0時，函數取值0，當x＞0時，f（x）＞0．
根據函數的單調性及特殊函數值，畫出函數f（x）的圖象，如圖所示，則③函數f（x）的圖象不經過第四象限；正確；
④f（x）=

1

2

有且只有三個實數解；正確．
故答案為：①、②、③、④．

點評：本小題主要考查函數、導數等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想．屬于基礎題．