證明方程x3＋2x＋12＝0只有一個實根。

 

答案：
解析：

證法一：設f（x）＝x3＋2x＋12。當x＝－2時，

f（－2）＝（－2）3＋2×（－2）＋12＝0。

∴ x＝－2是方程x3＋2x＋12＝0的實根。

又f′（x）＝3x2＋2＞0，

∴ f（x）＝x3＋2x＋12在（－∞，+∞）上單調(diào)遞增，即對任意實數(shù)x1、x2，當x1＞x2（或x1＜x2）時，f（x1）＞f（x2）（或f（x1）＜f'（x2））。

∴ 若存在x1、x2且x1≠x2，使f（x1）＝f（x2）＝0，則與函數(shù)f（x）在（－∞，+∞）上單調(diào)遞增相矛盾。

∴ 方程x2＋2x＋12＝0只有一個實根。

證法二：x3＋2x＋12＝0，x3＋8＋2x＋4＝0，

（x＋2）（x2－2x＋4）＋2（x＋2）＝0，（x＋2）（x2－2x＋6）＝0，

∴ x＋2＝0或x2－2x＋6＝0�！� x＝－2。

∵ x2－2x＋6＝0的判別式△＝4－24＝－20＜0。

∴ x2－2x＋6＝0無實數(shù)解。

∴x2＋2x＋12＝0只有一個實根。

 


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）．定義：（1）f（x）的導數(shù)f′（x）（也叫f（x）一階導數(shù)）的導數(shù)，f″（x）為f（x）的二階導數(shù)，若方程f″（x）=0有實數(shù)解x0，則稱點（x0，f（x0） ）為函數(shù)y=f（x）的“拐點”；定義：（2）設x0為常數(shù)，若定義在R上的函數(shù)y=f（x）對于定義域內(nèi)的一切實數(shù)x，都有f（x0+x）+f（x0-x）=2f（x0）恒成立，則函數(shù)y=f（x）的圖象關于點（x0，f（x0））對稱．
（1）己知f（x）=x3-3x2+2x+2，求函數(shù)f（x）的“拐點”A的坐標；
（2）檢驗（1）中的函數(shù)f（x）的圖象是否關于“拐點”A對稱；
（3）對于任意的三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）寫出一個有關“拐點”的結(jié)論（不必證明）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•東營一模）對于三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）．
定義：（1）設f''（x）是函數(shù)y=f（x）的導數(shù)y=f'（x）的導數(shù)，若方程f''（x）=0有實數(shù)解x0，則稱點（x0，f（x0））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”；
定義：（2）設x0為常數(shù)，若定義在R上的函數(shù)y=f（x）對于定義域內(nèi)的一切實數(shù)x，都有f（x0+x）+f（x0-x）=2f（x0）成立，則函數(shù)y=f（x）的圖象關于點（x0，f（x0））對稱．
已知f（x）=x3-3x2+2x+2，請回答下列問題：
（1）求函數(shù)f（x）的“拐點”A的坐標
（2）檢驗函數(shù)f（x）的圖象是否關于“拐點”A對稱，對于任意的三次函數(shù)寫出一個有關“拐點”的結(jié)論（不必證明）
（3）寫出一個三次函數(shù)G（x），使得它的“拐點”是（-1，3）（不要過程）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：044

證明方程x3＋2x＋12＝0只有一個實根。

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年江蘇省無錫市濱湖區(qū)梅村高級中學高三（上）11月月考數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

對于三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）．
定義：（1）設f''（x）是函數(shù)y=f（x）的導數(shù)y=f'（x）的導數(shù)，若方程f''（x）=0有實數(shù)解x，則稱點（x，f（x））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”；
定義：（2）設x為常數(shù)，若定義在R上的函數(shù)y=f（x）對于定義域內(nèi)的一切實數(shù)x，都有f（x+x）+f（x-x）=2f（x）成立，則函數(shù)y=f（x）的圖象關于點（x，f（x））對稱．
已知f（x）=x3-3x2+2x+2，請回答下列問題：
（1）求函數(shù)f（x）的“拐點”A的坐標
（2）檢驗函數(shù)f（x）的圖象是否關于“拐點”A對稱，對于任意的三次函數(shù)寫出一個有關“拐點”的結(jié)論（不必證明）
（3）寫出一個三次函數(shù)G（x），使得它的“拐點”是（-1，3）（不要過程）

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