【題目】已知橢圓:的長軸長為4,左、右頂點(diǎn)分別為,經(jīng)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)(不與點(diǎn)重合).

(1)求橢圓的方程及離心率;

(2)求四邊形面積的最大值;

(3)若直線與直線相交于點(diǎn),判斷點(diǎn)是否位于一條定直線上?若是,寫出該直線的方程. (結(jié)論不要求證明)

【答案】(Ⅰ) ,離心率 (Ⅱ) (Ⅲ)

【解析】

(Ⅰ)由題意可知:m=1,可得橢圓方程,根據(jù)離心率公式即可求出

(Ⅱ)設(shè)直線CD的方程,代入橢圓方程,根據(jù)韋達(dá)定理,由SACBDSACB+SADB,換元,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得四邊形ACBD面積的最大值.

(Ⅲ)點(diǎn)M在一條定直線上,且該直線的方程為x=4

(Ⅰ)由題意,得 , 解得.

所以橢圓方程為.

,,.

所以橢圓的離心率.

(Ⅱ)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),由題意,得的方程為,

代入橢圓的方程,得,

又因?yàn)?/span>,

所以四邊形的面積.

當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)的方程為,,

聯(lián)立方程 消去,得.

由題意,可知恒成立,則,

四邊形的面積

,

設(shè),則四邊形的面積,

所以.

綜上,四邊形面積的最大值為.

(Ⅲ)結(jié)論:點(diǎn)在一條定直線上,且該直線的方程為.

練習(xí)冊系列答案
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(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;

(Ⅱ)過點(diǎn)的直線與軌跡相交于兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn),直線的斜率分別為,問是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由.

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1

數(shù)量

景區(qū)1

景區(qū)2

景區(qū)3

0

2

2

3

0

1

4

1

0

2

門票

景區(qū)1

景區(qū)2

景區(qū)3

原價(jià)

60

90

120

折扣后價(jià)

40

60

80

1)按照上述表格的行列次序分別寫出這三位市民獲得的折扣消費(fèi)券數(shù)量矩陣A和三個(gè)景區(qū)的門票折扣后價(jià)格矩陣B;

2)利用你所學(xué)的矩陣知識(shí),計(jì)算三位市民各獲得多少元折扣?

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【題目】為培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣,某校開展了為期一年的“弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化,閱讀經(jīng)典名著”活動(dòng). 活動(dòng)后,為了解閱讀情況,學(xué)校統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩組各10名學(xué)生的閱讀量(單位:本),統(tǒng)計(jì)結(jié)果用莖葉圖記錄如下,乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊,無法確認(rèn),在圖中以a表示.

(Ⅰ)若甲組閱讀量的平均值大于乙組閱讀量的平均值,求圖中a的所有可能取值;

(Ⅱ)將甲、乙兩組中閱讀量超過15本的學(xué)生稱為“閱讀達(dá)人”. 設(shè),現(xiàn)從所有的“閱讀達(dá)人”里任取2人,求至少有1人來自甲組的概率;

(Ⅲ)記甲組閱讀量的方差為. 若在甲組中增加一個(gè)閱讀量為10的學(xué)生,并記新得到的甲組閱讀量的方差為,試比較的大小.(結(jié)論不要求證明)

(注:,其中為數(shù)據(jù)的平均數(shù))

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(2)過AC的平面交BD于點(diǎn)E,若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分,求二面角DAEC的余弦值.

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(1)請完成上面的列聯(lián)表,并判斷在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下,能否認(rèn)為網(wǎng)民對網(wǎng)絡(luò)知識(shí)付費(fèi)的態(tài)度與年齡有關(guān)?

(2)在上述樣本中用分層抽樣的方法,從支持和反對網(wǎng)絡(luò)知識(shí)付費(fèi)的兩組網(wǎng)民中抽取名,若在上述名網(wǎng)民中隨機(jī)選人,求至少1人支持網(wǎng)絡(luò)知識(shí)付費(fèi)的概率.

附:,.

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【題目】在某區(qū)“創(chuàng)文明城區(qū)”簡稱“創(chuàng)城”活動(dòng)中,教委對本區(qū)AB,CD四所高中校按各校人數(shù)分層抽樣調(diào)查,將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成如表:

學(xué)校

A

B

C

D

抽查人數(shù)

50

15

10

25

“創(chuàng)城”活動(dòng)中參與的人數(shù)

40

10

9

15

注:參與率是指:一所學(xué)!皠(chuàng)城”活動(dòng)中參與的人數(shù)與被抽查人數(shù)的比值

假設(shè)每名高中學(xué)生是否參與“創(chuàng)城”活動(dòng)是相互獨(dú)立的.

若該區(qū)共2000名高中學(xué)生,估計(jì)A學(xué)校參與“創(chuàng)城”活動(dòng)的人數(shù);

在隨機(jī)抽查的100名高中學(xué)生中,從A,C兩學(xué)校抽出的高中學(xué)生中各隨機(jī)抽取1名學(xué)生,求恰有1人參與“創(chuàng)城”活動(dòng)的概率;

若將表中的參與率視為概率,從A學(xué)校高中學(xué)生中隨機(jī)抽取3人,求這3人參與“創(chuàng)城”活動(dòng)人數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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