Question

如圖，已知，分別是正方形邊、的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，、都垂直于平面，且， ，是線段上一動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）若平面，試求的值；
（Ⅲ）當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，求二面角的余弦值．

Answer 1

法1：（Ⅰ）連結(jié)，
∵平面，平面，∴，
又∵，，
∴平面，
又∵，分別是、的中點(diǎn)，∴，
∴平面，又平面，
∴平面平面；
（Ⅱ）連結(jié)，
∵平面，平面平面，
∴，
∴，故 
（Ⅲ）∵平面，平面，∴，
在等腰三角形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，
∴為所求二面角的平面角，
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，
所以在矩形中，可求得，，，
在中，由余弦定理可求得，
∴二面角的余弦值為．
法2：（Ⅰ）同法1；
（Ⅱ）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，，，，
∴，，

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，平面的法向量為，則，
所以，即，令，則，，
故，
∵平面，∴，即，解得，
故，即點(diǎn)為線段上靠近的四等分點(diǎn)；故     
（Ⅲ），則，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，令，
則，，即，
當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，，則，
∴，
∴二面角的余弦值為．

略