如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC=2,AE⊥平面ABC,CD⊥平面ABC,CE交AD于點(diǎn)P.
(1)若AE=CD,點(diǎn)M為BC的中點(diǎn),求證:直線MP∥平面EAB
(2)若AE=2,CD=1,求銳二面角E-BC-A的平面角的余弦值.

【答案】分析:(1)由題意可得四邊形ACDE為矩形,點(diǎn)P為EC的中點(diǎn).再取AC的中點(diǎn)為N,可證MN∥平面EAB,PN∥平面EAB,從而平面PMN∥平面EAB.再根據(jù)兩個(gè)平面平行的性質(zhì)可得直線MP∥平面EAB.
(2)先由條件判斷∠EBA即為銳二面角E-BC-A的平面角.直角三角形EAB中,由EA=AB=2,可得直角三角形EAB為等腰直角三角形,故∠EBA=45°,由此求得cos∠EBA 的值,即為所求.
解答:解:(1)∵AE=CD,點(diǎn)M為BC的中點(diǎn),AE⊥平面ABC,CD⊥平面ABC,故四邊形ACDE為矩形.
由CE交AD于點(diǎn),P可得點(diǎn)P為EC的中點(diǎn).
再取AC的中點(diǎn)為N,則MN為△ABC的中位線,PN為△ACE的中位線,故有MN∥AB,
而MN不在平面ABE中,AB在平面ANE中,故有MN∥平面EAB.
同理可證,PN∥平面EAB.
而MN和PN是平面PMN內(nèi)的兩條相交直線,故平面PMN∥平面EAB.
而MP在平面PMN內(nèi),故MP∥平面EAB.
(2)Rt△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC=2,AE⊥平面ABC,CD⊥平面ABC,則有BC⊥平面EAB,
故∠EBA即為銳二面角E-BC-A的平面角.
直角三角形EAB中,由EA=AB=2,可得直角三角形EAB為等腰直角三角形,
故∠EBA=45°,∴cos∠EBA=
點(diǎn)評:本題主要考查證明直線和平面平行、2個(gè)平面平行的方法,2個(gè)平面平行的性質(zhì),求二面角的平面角,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,D為BC上一點(diǎn),∠DAC=30°,BD=2,AB=2
3
,則AC的長為( 。
A、2
2
B、3
C、
3
D、
3
2
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作⊙O的切線,交BC于點(diǎn)E.
(1)求證:點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn);
(2)若EC=3,BD=2
6
,求⊙O的直徑AC的長度.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC=2,AE⊥平面ABC,CD⊥平面ABC,CE交AD于點(diǎn)P.
(1)若AE=CD,點(diǎn)M為BC的中點(diǎn),求證:直線MP∥平面EAB
(2)若AE=2,CD=1,求銳二面角E-BC-A的平面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

8.如圖,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,AB=2,AC=
2
2
.DO⊥AB于O點(diǎn),OA=OB,DO=2,曲線E過C點(diǎn),動點(diǎn)P在E上運(yùn)動,且保持|PA|+|PB|的值不變.
(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求曲線E的方程;
(2)過D點(diǎn)的直線L與曲線E相交于不同的兩點(diǎn)M、N且M在D、N之間,設(shè)
DM
DN
=λ,試確定實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在Rt△ABC中,AC=1,BC=x,D是斜邊AB的中點(diǎn),將△BCD沿直線CD翻折,若在翻折過程中存在某個(gè)位置,使得CB⊥AD,則x的取值范圍是( 。
A、(0,
3
]
B、(
2
2
,2]
C、(
3
,2
3
]
D、(2,4]

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