已知定義在(-1,1)上的奇函數(shù)f(x)在x∈(0,1)時f(x)=
2x4x+1
,
(1)試求f(x)的解析式;
(2)試判斷并證明f(x)在(0,1)上的單調(diào)性;
(3)當(dāng)λ取何值時,不等式λ4x-2x+λ>0 在x∈(0,1)上有實數(shù)解?
分析:(1)由奇函數(shù)性質(zhì)可得f(-0)=-f(0),由此可求f(0);當(dāng)x∈(-1,0)時,-x∈(0,1),由已知表達(dá)式可求f(-x),根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)可得f(x)與f(-x)的關(guān)系,從而可得f(x),綜上可得f(x)在(-1,1)上的解析式;
(2)x∈(0,1)時f(x)=
2x
4x+1
,利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可作出判斷證明;
(3)令t=2x,易求t的范圍為(1,2),則λ4x-2x+λ>0 化為λt2-t+λ>0,分離出參數(shù)λ后轉(zhuǎn)化求函數(shù)的最值即可解決;
解答:解:(1)∵f(x)為(-1,1)上的奇函數(shù),
∴f(-0)=-f(0),即f(0)=-f(0),解得f(0)=0;
當(dāng)x∈(-1,0)時,-x∈(0,1),
∵x∈(0,1)時f(x)=
2x
4x+1
,
∴f(-x)=
2-x
4-x+1
=
2x
1+4x

又f(x)為奇函數(shù),
∴f(x)=-f(-x)=-
2x
1+4x
;
f(x)=
2x
4x+1
,x∈(0,1)
0,x=0
-
2x
1+4x
,x∈(-1,0)

(2)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,證明如下:
x∈(0,1)時f(x)=
2x
4x+1

任取x1,x2∈(0,1),且x1<x2,
則f(x1)-f(x2)=
2x1
4x1+1
-
2x2
4x2+1
=
2x1(4x2+1)-2x2(4x1+1)
(4x1+1)(4x2+1)
=
(2x2-2x1)(2x1+x2-1)
(4x1+1)(4x2+1)
,
∵x1,x2∈(0,1),且x1<x2,
2x2-2x1>0,2x1+x2-1>0,4x1+1>0,4x2+1>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(0,1)上是減函數(shù);
(3)令t=2x,∵x∈(0,1),∴t∈(1,2),
則λ4x-2x+λ>0 化為λt2-t+λ>0,即λ>
t
t2+1

∴不等式λ4x-2x+λ>0 在x∈(0,1)上有實數(shù)解,等價于λ>
t
t2+1
在(1,2)上有實數(shù)解,
t
t2+1
=
1
t+
1
t
,且t+
1
t
在(1,2)上遞增,
1
t+
1
t
在(1,2)上遞減,
1
2+
1
2
1
t+
1
t
1
1+
1
1
,即
2
5
1
t+
1
t
1
2
,
λ>
2
5
,即λ>
2
5
時不等式λ4x-2x+λ>0 在x∈(0,1)上有實數(shù)解.
點評:本題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、單調(diào)性的判斷證明、不等式的求解,考查轉(zhuǎn)化思想,考查學(xué)生綜合運用知識解決問題的能力.
練習(xí)冊系列答案
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