Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=2，BC₁=

2

，CC₁=

2

，△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，E為棱AB的中點，F(xiàn)為CC₁上的動點．
（Ⅰ）在線段CC₁上是否存在一點F，使得EF∥平面A₁BC₁？若存在，確定其位置；若不存在，說明理由．
（Ⅱ）在線段CC₁上是否存在一點F，使得EF⊥BB₁？若存在，確定其位置；若不存在，說明理由．
（ III）當F為CC₁的中點時，若AC≤CC₁，且EF與平面ACC₁A₁所成的角的正弦值為

2

3

，求二面角C-AA₁-B的余弦值．

Answer 1

分析：（I）存在，中點，利用線面平行的判定定理可得結論；
（Ⅱ）存在，當F在靠端點C₁一側的四等分點時．
（III）建立空間直角坐標系，確定平面ACC₁A₁、平面AA₁B的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可得到結論．

解答：解：（I）存在，中點．
取A₁B的中點D，連接ED，DC₁，則ED∥AA₁，ED=

1

2

AA₁，
∵F為CC₁上的動點，∴ED∥FC₁，ED=FC₁，
∴四邊形DEFC₁是平行四邊形
∴EF∥DC₁，
∴EF?平面A₁BC₁，DC₁?平面A₁BC₁，
∴EF∥平面A₁BC₁；
（Ⅱ）存在，當F在靠端點C₁一側的四等分點時．建立如圖所示的空間直角坐標系，設A（0，0，b），F(xiàn)（x，1-x，0），則E（-

1

2

，0，

b

2

），∴

EF

=(x+

1

2

，1-x，

b

2

)，∵

CC1

=(-1，1，0)，

EF

⊥

CC1

，∴x=

1

4

．
（III）設平面ACC₁A₁的一個法向量為

n

1=(x1，y1，z1)
又

CC1

=(-1，1，0)，

AC

=(1，0，-b)
則

CC1 • n1 =0 A1C1 • n1 =0

，

-x1+y1=0 x1-bz1=0

，令z₁=1，則

n

1=(b，b，1)
又

EF

=(1，

1

2

，-

b

2

)
∴|cos＜

n1

，

EF

＞|=

| n1 • EF |

| n |•| EF |

=

b

2b2+1 5 4 + b2 4

=

2

3

…（6分）
解得b=1，或b=

10

2

，
∵AC≤CC₁∴b=1
∴

n

1=(1，1，1)
同理可求得平面AA₁B的一個法向量

n2

=(1，1，-1)
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

1

3

又二面角C-AA₁-B為銳二面角，故余弦值為

1

3

．

點評：本題考查線面平行，考查面面角，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．