Question

已知函數(shù)（）．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）函數(shù)在定義域內(nèi)是否存在零點？若存在，請指出有幾個零點；若不存在，請說明理由；
（3）若，當(dāng)時，不等式恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）當(dāng)時，函數(shù)有兩個不同的零點；當(dāng)時，函數(shù)有且僅有一個零點；當(dāng)時，函數(shù)沒有零點；（3）的取值范圍是．

試題分析：（1）首先求導(dǎo)：，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號確定其單調(diào)性．時，函數(shù)單調(diào)遞增；時，函數(shù)單調(diào)減；（2）首先分離參數(shù).由，得.令（），下面就利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，然后結(jié)合圖象便可得知的零點的個數(shù)；（3）注意是一個確定的函數(shù)，為了弄清何時成立，首先弄清與的大小關(guān)系，然后利用（1）題的結(jié)果即可知道， 取何值時在上恒成立.
（1）由，則．
當(dāng)時，對，有，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，由，得；由，得，
此時函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．
綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；
當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為． 4分
（2）函數(shù)的定義域為，由，得（）， 5分
令（），則， 6分
由于，，可知當(dāng)，；當(dāng)時，，
故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故． 7分
又由（1）知當(dāng)時，對，有，即，
（隨著的增長，的增長速度越越快，會超過并遠遠大于的增長速度，而的增長速度則會越越慢．則當(dāng)且無限接近于0時，趨向于正無窮大.）
當(dāng)時，函數(shù)有兩個不同的零點；
當(dāng)時，函數(shù)有且僅有一個零點；
當(dāng)時，函數(shù)沒有零點． 9分
（3）由（2）知當(dāng)時，，故對，
先分析法證明：，． 10分
要證，，
只需證，
即證，
構(gòu)造函數(shù)，則，
故函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，則成立． 12分
當(dāng)時，由（1），在單調(diào)遞增，則在上恒成立；
當(dāng)時，由（1），函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
故當(dāng)時，，所以，則不滿足題意．
所以滿足題意的的取值范圍是． 14分