Question

已知橢圓C：的離心率為，A、B為它的左、右焦點，過一定點N（1，0）任作兩條互相垂直的直線與C分別交于點P和Q，且||的最小值為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線NP、NQ，使得向量與互相垂直？若存在，求出點P、Q的橫坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設O為坐標原點，易知PO為△PAB的中線，從而可得，易知當點P在短軸上定點時取得最小值2，由此可求得b值，再由離心率及a²=b²+c²可求得a；
（2）易知直線NP，NQ斜率均存在，設兩直線方程分別為：L_NP：y=k（x-1），，由，（O為原點），知只需滿足即可，由=-1，可得x_P+x_Q=1①，根據點P、Q在橢圓上得，=-1，聯立①可得②，可判斷①②構成方程組有解，從而可得結論；
解答：解：（1）設O為坐標原點，則PO為△PAB的中線，
∴，，
因此，當P在短軸上頂點時，取得最小值2，即2b=2，解得b=1，
依題意得：，即，即，∴a²=4，
∴橢圓C的方程為：；
（2）由題意知直線NP，NQ斜率均存在，設為K_NP=k，，
則此兩直線方程分別為：L_NP：y=k（x-1），，
又，（O為原點），因此，只要滿足即可，
故=-1，化簡為：x_P+x_Q=1，
由半橢圓方程得：，則=-1，即=-4x_Px_Q，
令x_Px_Q=t≤0且x_P+x_Q=1，故，
化簡為：15t²-8t-12=0，解得t=-或t=（舍去），∴，
解之得：或，
因此，直線NP、NQ能使得與互相垂直．
點評：本題考查橢圓的標準方程、直線斜率及其方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生對問題的探究能力及解決問題的能力．