Question

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，長軸長為2

2

，離心率e=

2

2

，過右焦點(diǎn)F的直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，且直線l的斜率k＞0．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若OP⊥OQ，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)長軸長為2

2

，離心率e=

2

2

，求出幾何量，即可求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），代入橢圓方程，根據(jù)OP⊥OQ，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求直線l的方程．

解答：解：（Ⅰ）由已知，橢圓方程可設(shè)為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
∵長軸長為2

2

，離心率e=

2

2

，
∴2a=2

2

，

c

a

=

2

2

，
∴a=

2

，b=c=1．
∴所求橢圓方程為

x2

2

+y2=1．                    …（4分）
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
由 

x2+2y2=2 y=k(x-1)

可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
∴由求根公式可得：x1，2=

2k2± 2k2+2

1+2k2

，
∴x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

．…（7分）
∵y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
∴y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=

-k2

1+2k2

．
∵OP⊥OQ，∴

OP

•

OQ

=0，
由

OP

•

OQ

=x1x2+y1y2=

2k2-2

1+2k2

+

-k2

1+2k2

=0，…．（10分）
得k²=2，
∵k＞0，∴k=

2

．
∴所求直線的方程為

2

x-y-

2

=0．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程與幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，考查韋達(dá)定理，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．