如圖,在圓錐PO中,已知PO=,☉O的直徑AB=2,C是的中點(diǎn),D為AC的中點(diǎn).

求證:平面POD⊥平面PAC.

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解析【證明】如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB,OC,OP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則O(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,),D(-,,0).
設(shè)n1=(x1,y1,z1)是平面POD的一個(gè)法向量,則由n1·=0,n1·=0,

所以z1=0,x1=y1.取y1=1,得n1=(1,1,0).
設(shè)n2=(x2,y2,z2)是平面PAC的一個(gè)法向量,
則由n2·=0,
n2·=0,得
所以x2=-z2,y2=z2.
取z2=1,得n2=(-,,1).
因?yàn)閚1·n2=(1,1,0)·(-,,1)=0,
所以n1⊥n2.
從而平面POD⊥平面PAC.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且AD=2,AB=1,PA⊥平面ABCD,E、F分別是線段AB、BC的中點(diǎn).

(1)證明:PF⊥FD;
(2)判斷并說明PA上是否存在點(diǎn)G,使得EG∥平面PFD;
(3)若PB與平面ABCD所成的角為45°,求二面角A-PD-F的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖1,在△ABC中,BC=3,AC=6,∠C=90°,且DE∥BC,將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1D⊥CD,如圖2。

(1)求證:BC⊥平面A1DC;
(2)若CD=2,求BE與平面A1BC所成角的正弦值。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,四棱錐的底面ABCD是平行四邊形,,,,設(shè)中點(diǎn),點(diǎn)在線段上且

(1)求證:平面;
(2)設(shè)二面角的大小為,若,求的長.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知正方形ABCD的邊長為2,AC∩BD=O.將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起,使AC=a,得到三棱錐A-BCD,如圖所示.

(1)當(dāng)a=2時(shí),求證:AO⊥平面BCD.
(2)當(dāng)二面角A-BD-C的大小為120°時(shí),求二面角A-BC-D的正切值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖幾何體中,四邊形為矩形,,,,,的中點(diǎn),為線段上的一點(diǎn),且.

(1)證明:
(2)證明:面;
(3)求三棱錐的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,在四棱錐中,底面是邊長為1的菱形,,底面,,的中點(diǎn),的中點(diǎn),,如圖建立空間直角坐標(biāo)系.

(1)求出平面的一個(gè)法向量并證明平面;
(2)求二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知四棱錐的底面是正方形,底面,上的任意一點(diǎn).

(1)求證:平面平面
(2)當(dāng)時(shí),求二面角的大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖所示,四棱錐PABCD中,PA⊥底面ABCD,BC=CD=2,AC=4,∠ACB=∠ACD=,F(xiàn)為PC的中點(diǎn),AF⊥PB.

(1)求PA的長;
(2)求二面角B-AF-D的正弦值.

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