精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
已知函數f(x)的定義域為(0,+∞),若y=
f(x)
x
在(0,+∞)上為增函數,則稱f(x)為“一階比增函數”;若y=
f(x)
x2
在(0,+∞)上為增函數,則稱f(x)為“二階比增函數”.我們把所有“一階比增函數”組成的集合記為Ω1,所有“二階比增函數”組成的集合記為Ω2
(Ⅰ)已知函數f(x)=x3-2hx2-hx,若f(x)∈Ω1,且f(x)∉Ω2,求實數h的取值范圍;
(Ⅱ)已知0<a<b<c,f(x)∈Ω1且f(x)的部分函數值由下表給出,
x a b c a+b+c
f(x) d d t 4
求證:d(2d+t-4)>0;
(Ⅲ)定義集合Φ={f(x)|f(x)∈Ω2,且存在常數k,使得任取x∈(0,+∞),f(x)<k},請問:是否存在常數M,使得?f(x)∈Φ,?x∈(0,+∞),有f(x)<M成立?若存在,求出M的最小值;若不存在,說明理由.
分析:(I)根據f(x)為“一階比增函數”不是“二階比增函數”.可得g(x)=
f(x)
x
=x2-2hx-h,在(0,+∞)是增函數,且h(x)=
f(x)
x2
=x-2h-
h
x
在(0,+∞)不是增函數,根據二次函數的圖象和性質及導數法,可求出實數h的取值范圍;
(Ⅱ)根據f(x)為“一階比增函數”,且0<a<b<c,結合表中數據可得f(a)=d<
4a
a+b+c
,f(b)=d<
4b
a+b+c
,f(c)=t<
4c
a+b+c
,根據不等式的性質可證得d(2d+t-4)>0;
(Ⅲ)根據f(x)為“二階比增函數”,我們先證明f(x)≤0對x∈(0,+∞)成立,再證明f(x)=0在(0,+∞)上無解,綜合兩個證明結果,可得答案.
解答:解:(I)因為f(x)∈Ω1,且f(x)∉Ω2,
即g(x)=
f(x)
x
=x2-2hx-h,在(0,+∞)是增函數,所以h≤0  …(2分)
而h(x)=
f(x)
x2
=x-2h-
h
x
在(0,+∞)不是增函數,
又∵h′(x)=1+
h
x2
,且
當h(x)是增函數時,有h≥0,所以當h(x)不是增函數時,h<0
綜上,得h<0                          …(4分)
證明:(Ⅱ) 因為f(x)∈Ω1,且0<a<b<c<a+b+c,
所以
f(a)
a
f(a+b+c)
a+b+c
=
4
a+b+c
,所以f(a)=d<
4a
a+b+c

同理可證f(b)=d<
4b
a+b+c
,f(c)=t<
4c
a+b+c

三式相加得f(a)+f(b)+f(c)=2d+t<
4(a+b+c)
a+b+c
=4
所以2d+t-4<0                        …(6分)
因為
d
a
d
b
,所以d(
b-a
ab
)<0
而0<a<b,所以d<0
所以d(2d+t-4)>0                                …(8分)
(Ⅲ) 因為集合Φ={f(x)|f(x)∈Ω2,且存在常數k,使得任取x∈(0,+∞),f(x)<k},
所以?f(x)∈Φ,存在常數k,使得 f(x)<k 對x∈(0,+∞)成立
我們先證明f(x)≤0對x∈(0,+∞)成立
假設?x0∈(0,+∞),使得f(x0)>0,
f(x0)
x02
=m>0
因為f(x)是二階比增函數,即
f(x)
x2
是增函數.
所以當x>x0時,
f(x)
x2
f(x0)
x02
=m,所以f(x)>mx2
所以一定可以找到一個x1>x0,使得f(x1)>mx12>k
這與f(x)<k 對x∈(0,+∞)成立矛盾                 …(11分)
即f(x)≤0對x∈(0,+∞)成立
所以?f(x)∈Φ,f(x)≤0對x∈(0,+∞)成立
下面我們證明f(x)=0在(0,+∞)上無解
假設存在x2>0,使得f(x2)=0,
則因為f(x)是二階增函數,即
f(x)
x2
是增函數
一定存在x3>x2>0,使
f(x3)
x32
f(x2)
x22
=0,這與上面證明的結果矛盾
所以f(x)=0在(0,+∞)上無解
綜上,我們得到?f(x)∈Φ,f(x)<0對x∈(0,+∞)成立
所以存在常數M≥0,使得?f(x)∈Φ,?x∈(0,+∞),有f(x)<M成立
又令f(x)=-
1
x
(x>0),則f(x)<0對x∈(0,+∞)成立,
又有
f(x)
x2
=
-1
x3
在(0,+∞)上是增函數,所以f(x)∈Φ,
而任取常數k<0,總可以找到一個xn>0,使得x>xn時,有有f(x)>k
所以M的最小值 為0       …(16分)
點評:本題考查的知識點是函數的單調性,導數的幾何意義,全稱命題,熟練掌握導數法在確定函數單調性和最值時的答題步驟是解答的關鍵.本題難度較大,運算量繁雜.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=log3
3
x
1-x
,M(x1,y1),N(x2y2)
是f(x)圖象上的兩點,橫坐標為
1
2
的點P滿足2
OP
=
OM
+
ON
(O為坐標原點).
(Ⅰ)求證:y1+y2為定值;
(Ⅱ)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)
,其中n∈N*,且n≥2,求Sn;
(Ⅲ)已知an=
1
6
,                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
,n≥2
,其中n∈N*,Tn為數列{an}的前n項和,若Tn<m(Sn+1+1)對一切n∈N*都成立,試求m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

下列說法正確的有( 。﹤.
①已知函數f(x)在(a,b)內可導,若f(x)在(a,b)內單調遞增,則對任意的?x∈(a,b),有f′(x)>0.
②函數f(x)圖象在點P處的切線存在,則函數f(x)在點P處的導數存在;反之若函數f(x)在點P處的導數存在,則函數f(x)圖象在點P處的切線存在.
③因為3>2,所以3+i>2+i,其中i為虛數單位.
④定積分定義可以分為:分割、近似代替、求和、取極限四步,對求和In=
n
i=1
f(ξi)△x
中ξi的選取是任意的,且In僅于n有關.
⑤已知2i-3是方程2x2+px+q=0的一個根,則實數p,q的值分別是12,26.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=sin(2x-
π
6
),g(x)=sin(2x+
π
3
),直線y=m與兩個相鄰函數的交點為A,B,若m變化時,AB的長度是一個定值,則AB的值是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

(Ⅰ)已知函數f(x)=x3-x,其圖象記為曲線C.
(i)求函數f(x)的單調區(qū)間;
(ii)證明:若對于任意非零實數x1,曲線C與其在點P1(x1,f(x1))處的切線交于另一點P2(x2,f(x2)),曲線C與其在點P2(x2,f(x2))處的切線交于另一點P3(x3,f(x3)),線段P1P2,P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積記為S1,S2.則
S1S2
為定值;
(Ⅱ)對于一般的三次函數g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),請給出類似于(Ⅰ)(ii)的正確命題,并予以證明.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=x3-ax+b存在極值點.
(1)求a的取值范圍;
(2)過曲線y=f(x)外的點P(1,0)作曲線y=f(x)的切線,所作切線恰有兩條,切點分別為A、B.
(。┳C明:a=b;
(ⅱ)請問△PAB的面積是否為定值?若是,求此定值;若不是求出面積的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案