Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n+1=+a，又a₁=2，a₂=1．
（1）求a的值；
（2）求S_n；
（3）是否存在正整數(shù)m、n，使成立？若存在，求出m、n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得，，即可解出a．
（2）由，變形為，利用等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式即可得出．                  
（3）假設(shè)存在正整數(shù)m、n，使則2＜2ⁿ（4-m）＜6，由于m，n是正整數(shù)，可得2ⁿ（4-m）=4，解出即可．
解答：解：（1）由題意得，，即，∴a=2．                      
（2）∵，∴，
∴數(shù)列{S_n-4}是以S₁-4=-2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
∴，∴．                  
（3）假設(shè)存在正整數(shù)m、n，使
則2＜2ⁿ（4-m）＜6，
∵m，n是正整數(shù)，∴2ⁿ（4-m）=4，
∴或
∴或
即存在正整數(shù)m、n，使成立．
點(diǎn)評：熟練掌握等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、等價(jià)轉(zhuǎn)化、整數(shù)的有關(guān)理論等是解題的關(guān)鍵．