Question

已知f（x）=

log

(4x+1) 4

+kx是偶函數(shù)，其中x∈R，且k為常數(shù)．
（1）求k的值；
（2）記g（x）=4^f（x）求x∈[0，2]時(shí)，函數(shù)個(gè)g（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f（x）=

log

(4x+1) 4

+kx是偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的定義f（-x）=f（x），得到一個(gè)恒等式，利用對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，求得k的值；
（2）把（1）求得的f（x）代入g（x）中，利用函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最大值．

解答：解：（1）由函數(shù)f（x）=

log

(4x+1) 4

+kx是偶函數(shù)，
可知f（-x）=f（x），
即

log

(4x+1) 4

+kx=

log

(4-x+1) 4

-kx
即

log	4x+1 4-x+1 4

=-2kx∴

log

4x 4

=-2kx，
即x=-2kx對(duì)x∈恒成立，
∴k=-

1

2

（2）g（x）=

4x+1

2x

=2x+

1

2x

∵x∈[0，2]，∴1≤2^x≤4
∴g（x）在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增
∴g（x）_max=

9

4

點(diǎn)評(píng)：此題考查函數(shù)的奇偶性和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，及利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了換元的思想方法．屬中檔題．