（2012•普陀區(qū)一模）設(shè)點(diǎn)F是拋物L(fēng)：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，P1，P2，…，Pn是拋物線L上的n個不同的點(diǎn)n（n≥3，n∈N*）．
（1）當(dāng)p=2時，試寫出拋物線L上三點(diǎn)P1、P2、P3的坐標(biāo)，時期滿足|
FP1
|+|
FP2
|+|
FP3
|=6；
（2）當(dāng)n≥3時，若
FP1
+
FP2
+…+
FPn
=
0
，求證：|
FP1
|+|
FP2
|+…+|
FPn
|=np；
（3）當(dāng)n＞3時，某同學(xué)對（2）的逆命題，即：“若|
FP1
|+| 
FP2
|+…+|  
FPN
|=np，則
FP1
+
FP2
+…+
FPN
=
0
”開展了研究并發(fā)現(xiàn)其為假命題．
請你就此從以下三個研究方向中任選一個開展研究：
1．試構(gòu)造一個說明該命題確實(shí)是假命題的反例；
2．對任意給定的大于3的正整數(shù)n，試構(gòu)造該假命題反例的一般形式，并說明你的理由：
3．如果補(bǔ)充一個條件后能使該命題為真，請寫出你認(rèn)為需要補(bǔ)充的一個條件，并說明加上該條件后，能使該逆命題為真命題的理由．
分析：（1）拋物線l的焦點(diǎn)為F（
p
2
，0），設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），利用拋物線的定義可得x1+x2+x3=3，故可取滿足條件的三點(diǎn)；
（2）設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，Pn（xn，yn），分別過P1、P2、P3，…，Pn作拋物線的準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為Q1、Q2、Q3，…，Qn，利用拋物線的定義可得x1+x2+x3+…+xn=
np
2
，從而可證
|FP1
|+|
FP2
|+…+|
FPn
|=np
（3）①取n=4時，拋物線l的焦點(diǎn)為F（
p
2
，0），設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），P4（x4，y4），分別過P1、P2、P3，P4作拋物線的準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為Q1、Q2、Q3，Q4，利用拋物線的定義，可得x1+x2+x3+x4=2p，從而可得結(jié)論；
②設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，Pn（xn，yn），分別過P1、P2、P3，…，Pn作拋物線的準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為Q1、Q2、Q3，…，Qn，利用拋物線的定義，可得x1+x2+x3+…+xn=
np
2
，從而可得結(jié)論；
③補(bǔ)充條件：點(diǎn)Pi的縱坐標(biāo)滿足y1+y2+…+yn=0，即當(dāng)n＞3時，|
FP1
|+| 
FP2
|+…+|  
FPn
|=np，點(diǎn)Pi的縱坐標(biāo)滿足y1+y2+…+yn=0，則
FP1
+
FP2
+…+
FPn
=
0
．
解答：解：（1）拋物線l的焦點(diǎn)為F（
p
2
，0），設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），
分別過P1、P2、P3作拋物線的準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為Q1、Q2、Q3，
∴|
FP1
|+|
FP2
|+|
FP3
|=（x1+
p
2
）+（x2+
p
2
）+（x3+
p
2
）=x1+x2+x3+
3p
2
=6
∵p=2，∴x1+x2+x3=3
故可取P1（
1
2
，
2
），P2（1，2），P3（
3
2
，
6
）滿足條件；
（2）設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，Pn（xn，yn），分別過P1、P2、P3，…，Pn作拋物線的準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為Q1、Q2、Q3，…，Qn
∴
|FP1
|+|
FP2
|+…+|
FPn
|=（x1+
p
2
）+（x2+
p
2
）+（x3+
p
2
）+…+（xn+
p
2
）=x1+x2+x3+…+xn+
np
2

∵
FP1
+
FP2
+…+
FPn
=
0
           
∴x1+x2+x3+…+xn=
np
2

∴
|FP1
|+|
FP2
|+…+|
FPn
|=
np
2
+
np
2
=np
（3）①取n=4時，拋物線l的焦點(diǎn)為F（
p
2
，0），設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），P4（x4，y4），分別過P1、P2、P3，P4作拋物線的準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為Q1、Q2、Q3，Q4，
∴
|FP1
|+|
FP2
|+…+|
FP4
|=x1+x2+x3+x4+2p=4p
∴x1+x2+x3+x4=2p
不妨取P1(
p
4
，
2
p
2
)，P2(
p
2
，p)，P3(
p
2
，-p)，P4(
3p
4
，
6
p
2
)，則
FP1
+
FP2
+…+
FP4
≠
0

故P1(
p
4
，
2
p
2
)，P2(
p
2
，p)，P3(
p
2
，-p)，P4(
3p
4
，
6
p
2
)是一個當(dāng)n=4時，該逆命題的一個反例；
②設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，Pn（xn，yn），分別過P1、P2、P3，…，Pn作拋物線的準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為Q1、Q2、Q3，…，Qn
∵|
FP1
|+| 
FP2
|+…+|  
FPn
|=np，∴x1+x2+x3+…+xn+
np
2
=np，∴x1+x2+x3+…+xn=
np
2

因?yàn)樯鲜霰磉_(dá)式與點(diǎn)的縱坐標(biāo)無關(guān)，所以將這n點(diǎn)都取在x軸的上方，則它們的縱坐標(biāo)都大于0，則
FP1
+
FP2
+…+
FPn
=（0，y1+y2+…+yn）≠
0

③補(bǔ)充條件：點(diǎn)Pi的縱坐標(biāo)滿足y1+y2+…+yn=0，即當(dāng)n＞3時，|
FP1
|+| 
FP2
|+…+|  
FPn
|=np，點(diǎn)Pi的縱坐標(biāo)滿足y1+y2+…+yn=0，則
FP1
+
FP2
+…+
FPn
=
0

由②知，命題為真．
點(diǎn)評：本題考查拋物線的定義，考查向量的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用拋物線的定義，難度較大．
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（2012•普陀區(qū)一模）
e
1，
e
2是兩個不共線的向量，已知
AB
=2
e
1+k
e
2，
CB
=
e
1+3
e
2
CD
=2
e
1-
e
2，且A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k=
-8
-8
．

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x2
4
+y2=1}，N={x|
x-3
x+1
≤0}，則集合{x|(x+
3
2
)2+y2=
1
4
}可表示為（　�。�

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{bn}的通項(xiàng)公式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，是否存在正整數(shù)n，使得
Tn+1
Tn
=
11
3
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1
log
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|x-1|
的定義域是
（0，1）∪（1，2）
（0，1）∪（1，2）
．

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