【題目】如圖,四邊形為正方形,四邊形為矩形,且平面與平面互相垂直.若多面體 的體積為,則該多面體外接球表面積的最小值為( )

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

根據(jù)題意,設(shè)出正方形邊長和矩形的高,根據(jù)體積公式,求得等量關(guān)系;再找到球心,求得半徑,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值,則問題得解.

根據(jù)題意,連接交于點,過//點,交,連接.

因為四邊形是正方形,故可得,

又因為平面平面,且交線為,又平面,故平面,

不妨設(shè),

故可得多面體的體積;

,解得;

又容易知多面體外接球的球心在四邊形外心的垂線上,且為的中點,

設(shè)外接球半徑為,則;

代入可得,不妨令,

,則,容易知是關(guān)于的單調(diào)增函數(shù),

且當(dāng)時,,故可得上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞減.

.

則外接球表面積的最小值.

故選:B.

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