Question

（2009全國卷Ⅰ文）(本小題滿分12分)（注決：在試題卷上作答無效）

   如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，，，點(diǎn)在側(cè)棱上，。       

（I）證明：是側(cè)棱的中點(diǎn)；

求二面角的大小。（同理18）                  

Answer 1

【解析】本小題考查空間里的線線關(guān)系、二面角，綜合題。

（I）解法一：作∥交于N，作交于E，

連ME、NB，則面，,

設(shè)，則,

在中，。

在中由

解得，從而 M為側(cè)棱的中點(diǎn)M.

解法二:過作的平行線.

（II）分析一:利用三垂線定理求解。在新教材中弱化了三垂線定理。這兩年高考中求二面角也基本上不用三垂線定理的方法求作二面角。

過作∥交于,作交于,作交于,則∥,面,面面,面即為所求二面角的補(bǔ)角.

法二：利用二面角的定義。在等邊三角形中過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則點(diǎn)為AM的中點(diǎn)，取SA的中點(diǎn)G，連GF，易證，則即為所求二面角.

解法二、分別以DA、DC、DS為x、y、z軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz，則。

（Ⅰ）設(shè)，則

，

，由題得

，即

解之個(gè)方程組得即

所以是側(cè)棱的中點(diǎn)。  

法2：設(shè)，則

又

故，即

，解得，

所以是側(cè)棱的中點(diǎn)。

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，

設(shè)分別是平面、的法向量，則

且，即且

分別令得，即

，

∴   

二面角的大小。