【題目】已知函數(shù).

(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

(2)證明：在區(qū)間上有且僅有個(gè)零點(diǎn).

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）給函數(shù)求導(dǎo)，將切點(diǎn)的橫坐標(biāo)帶入原函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)，分別求出切點(diǎn)和斜率，用點(diǎn)斜式寫出直線方程即可.

（2）當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)；又，下面只需證明函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn).因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，存在，使得，函數(shù)在處取得極小值，則，又，所以，由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn).綜上可得，函數(shù)在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

（1），則，

，.

因此，函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即.

（2）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，

所以，函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)；

又，下面只需證明函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn).

，構(gòu)造函數(shù)，則，

當(dāng)時(shí)，，

所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

，，

由零點(diǎn)存在定理知，存在，使得，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

所以，函數(shù)在處取得極小值，則，

又，所以，

由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn).

綜上可得，函數(shù)在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖所示，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面平面，，．

（1）求證：平面平面；

（2）設(shè)為的中點(diǎn)，問邊上是否存在一點(diǎn)，使平面，并求此時(shí)點(diǎn)到平面的距離．

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【題目】已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程是.

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)，的值;

（Ⅱ）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，求證：.

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【題目】若拋物線的焦點(diǎn)為，是坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線上的一點(diǎn)，向量與軸正方向的夾角為60°，且的面積為.

（1）求拋物線的方程；

（2）若拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，求當(dāng)取得最大值時(shí)，直線的方程.

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【題目】如圖，在四棱柱中，，，，且，.

（1）求證：；

（2）若四棱柱的體積為，求直線與平面所成角的正弦值.

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【題目】已知函數(shù)，．

（Ⅰ）判斷函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的極值點(diǎn)從小到大分別為．證明：

（i）；

（ii）對(duì)一切成立．

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【題目】從盛滿2升純酒精的容器里倒出1升純酒精,然后填滿水,再倒出1升混合溶液后又用水填滿,以此繼續(xù)下去,則至少應(yīng)倒　　　次后才能使純酒精體積與總?cè)芤旱捏w積之比低于10%.

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【題目】如圖，已知點(diǎn)，，拋物線的焦點(diǎn)為線段中點(diǎn).

（1）求拋物線的方程；

（2）過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，，過點(diǎn)作拋物線的切線，為切線上的點(diǎn)，且軸，求面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的方程為，且直線與以原點(diǎn)為圓心，橢圓短軸長(zhǎng)為直徑的圓相切．

（1）求的值；

（2）若橢圓左右頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)作直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且位于第一象限，在線段上．

①若和的面積分別為，問是否存在這樣的直線使得？請(qǐng)說明理由；

②直線與直線交于點(diǎn)，連結(jié)，記直線的斜率分別為，求證：為定值．

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