Question

設(shè)a＞0，函數(shù)f(x)=x+

a2

x

，g(x)=x-lnx，若對(duì)任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有f（x₁）≥g（x₂）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：先對(duì)函數(shù)g（x）求導(dǎo)判斷出函數(shù)g（x）的單調(diào)性并求其最大值，然后對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)判斷單調(diào)性求其最小值，最后令函數(shù)f（x）的最小值大于等于函數(shù)g（x）的最大值即可．

解答：解：∵g（x）=x-lnx∴g'（x）=1-

1

x

，x∈[1，e]，g'（x）≥0 函數(shù)g（x）單調(diào)遞增
g（x）的最大值為g（e）=e-1
∵f（x）=x+

a2

x

∴f'（x）=

x 2-a2

x 2

，令f'（x）=0∵a＞0∴x=a
當(dāng)0＜a＜1 f（x）在[1，e]上單調(diào)增 f（1）_最小=1+a²≥e-1∴1＞a≥

e-2

當(dāng)1≤a≤e 列表可知 f（a）_最小=2a≥e-1 恒成立
當(dāng)a＞e時(shí) f（x）在[1，e]上單調(diào)減 f（e）_最小=

e2+a2

e

≥e-1 恒成立
綜上a≥

e-2

故答案為：a≥

e-2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．