Question

（本小題滿分13分）
如圖6所示，在直角坐標(biāo)平面上的矩形中，，，點(diǎn)，滿足，，點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)．
（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡方程；
（Ⅱ）若過點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡相交于，兩點(diǎn)，求的面積的最大值．
圖6

Answer 1

（1）（2）

（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由圖可知，，，
．
由，得點(diǎn)的坐標(biāo)為；
由，得點(diǎn)的坐標(biāo)為
．              ……分
于是，當(dāng)時(shí)，直線的方程為
，                ……①
直線的方程為．……②
①②，得，即．
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)即為點(diǎn)，而點(diǎn)的坐標(biāo)也滿足上式．      
故點(diǎn)的軌跡方程為．                                                    ……分
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)的直線的方程為，且設(shè)，．
由得．   ……③
由于上述方程的判別式，所以，是方程③的兩根，
根據(jù)求根公式，可得．
又，所以的面積．             ……分
令，則．
于是，．
記，，則．
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增．
故當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)取得最大值．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，即直線垂直于軸時(shí)，的面積取得最大值．
……分