Question

設(shè)函數(shù)，其中a為實(shí)常數(shù)．
（1）設(shè)a=1，請(qǐng)指出函數(shù)y=f（x）的圖象；（在答題卡上寫(xiě)出圖象的代號(hào)A，B，C或D）
（2）設(shè)a＞-1，試研究函數(shù)f（x）的奇偶性與單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，
∴，
即該函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，f（x）是單調(diào)遞減函數(shù)觀察可選C …
（2）當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．…
證：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的定義域是（-1，a），所以，當(dāng)a≠1時(shí)，函數(shù)f（x）非奇非偶；…
當(dāng)a=1時(shí)，，
所以，函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．…f（x）是單調(diào)遞減函數(shù)． …
任取x₁，x₂∈（-1，a），且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=，∵，∴，
由函數(shù)y=lgx是單調(diào)遞增函數(shù)，有，即f（x₁）＞f（x₂），
所以，f（x）是單調(diào)遞減函數(shù)． …
分析：（1）先求出當(dāng)a=1時(shí)函數(shù)f（x）的奇偶性和單調(diào)性，然后判定其圖象；
（2）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的定義域是（-1，a），所以，當(dāng)a≠1時(shí)，函數(shù)f（x）非奇非偶，a=1時(shí)用定義進(jìn)行判定即可，任取x₁，x₂∈（-1，a），且x₁＜x₂，然后判定f（x₁）-f（x₂）的符號(hào)，根據(jù)單調(diào)性的定義可判定．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，以及函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判定，屬于中檔題．