【題目】已知函數(shù).

1)判斷函數(shù)上的單調(diào)性,并證明;

2)若恒成立,求的最小值;

3)記,求集合中正整數(shù)的個數(shù);

【答案】1)單調(diào)遞增,證明見解析(243)見解析

【解析】

1)去掉絕對值符號后由二次函數(shù)性質(zhì)可得,并按定義證明;

2)直接代入解析式.不等式為二次不等式,由一元二次不等式恒成立可得;

3)求出,利用二項式定理確定除以3所得余數(shù),從而可確定怎樣計算上正整數(shù)個數(shù).

1單調(diào)遞增

證明:任取

,∴,

,則

,則單調(diào)遞增.

2)由恒成立可得

恒成立,且

恒成立,

,解得:

所以,的最小值為4.

3

時,區(qū)間為,正整數(shù)個數(shù)為0,

時,∵

為偶數(shù)時,;

為奇數(shù)時,;

同奇偶,同奇偶

為偶數(shù)時,正整數(shù)個數(shù)為:

為奇數(shù)時(

正整數(shù)個數(shù)為:.

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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

1)當(dāng)時,若函數(shù),)處導(dǎo)數(shù)相等,證明:;

2)是否存在,使直線是曲線的切線,也是曲線的切線,而且這樣的直線是唯一的,如果存在,求出直線方程,如果不存在,請說明理由.

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【題目】已知雙曲線,)的左、右焦點分別為,,過點且斜率為的直線交雙曲線于,兩點,線段的垂直平分線恰過點,則該雙曲線的離心率為(

A.B.C.D.

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【題目】已知中心在原點,焦點在軸上,離心率為的橢圓過點

1)求橢圓的方程;

2)設(shè)不過原點的直線與該橢圓交于兩點,滿足直線的斜率依次成等比數(shù)列,求面積的取值范圍.

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【題目】在棱長為1的正方體中,E,F(xiàn)分別為線段CD和上的動點,且滿足,則四邊形所圍成的圖形(如圖所示陰影部分)分別在該正方體有公共頂點的三個面上的正投影的面積之和( 。

A. 有最小值B. 有最大值C. 為定值3D. 為定值2

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【題目】已知橢圓的離心率,一個長軸頂點在直線上,若直線與橢圓交于,兩點,為坐標(biāo)原點,直線的斜率為,直線的斜率為.

1)求該橢圓的方程.

2)若,試問的面積是否為定值?若是,求出這個定值;若不是,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的一個焦點為,左右頂點分別為.經(jīng)過點的直線與橢圓交于兩點.

1)求橢圓方程及離心率.

2)當(dāng)直線的傾斜角為時,求線段的長;

3)記的面積分別為,求最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的右焦點為F,點B是橢圓C的短軸的一個端點,ΔOFB的面積為,橢圓C上的兩點HG關(guān)于原點O對稱,且、的等差中項為2

1)求橢圓的方程;

2)是否存在過點M2,1)的直線與橢圓C交于不同的兩點P、Q,且使得成立?若存在,試求出直線的方程;若不存在,請說明理由

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為

(1)為曲線上的動點,點在線段上,且滿足,求點的軌跡的直角坐標(biāo)方程;

(2)設(shè)點的極坐標(biāo)為,點在曲線上,求面積的最大值.

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